On semicompact spaces. (Q2612904)

Verf. macht die interessante Bemerkung, daß in den Betrachtungen des Ref. (\textit{H. Freudenthal}, Über die Enden topologischer Räume und Gruppen, Math. Z. 33 (1931), 692-713; F. d. M. 57) die Voraussetzung der Kompaktheit im kleinen durch die viel schwächere der ``\textit{Semikompaktheit}'' ersetzt werden kann, d. h. durch die Voraussetzung, daß zu jedem Punkt beliebig kleine \textit{Umgebungen mitkompakter Berandung} existieren. In der Tat zeigt sich, daß (falls \(R\) als semikompakt, vollständig und separabel vorausgesetzt wird) \(R\) sich durch Zufügung einer \textit{abzählbaren} Menge kompaktisieren läßt (analog der Kompaktisierung eines im kleinen kompakten \(R\) durch Hinzufügung \textit{eines} Punktes), und daß sich jeder kompakte Raum durch Weglassung eines total zusammenhanglosen \(F_{\sigma}\) in einen Raum \(R\) verwandelt. Ist \(R\) obendrein zusammenhängend und im kleinen zusammenhängend (``\textit{semipeanoscher} Raum''), so läßt sich der Satz 7 des Ref. verallgemeinern: Mit \(R\) ist eine ausgezeichnete Kompaktisierung \(\overline R\) invariant verknüpft (die durch Hinzufügung der ``Endpunkte'' entsteht); die hinzugefügte Menge \(Q\) ist da total \textit{zusammenhanglos} und \textit{total vermeidbar} (d. h. kein Gebiet aus \(\overline{R}\) wird durch \(Q\) zerlegt), und \(\overline R\) ist ein \textit{peanoscher} Raum. Der Beweis ist im Wesentlichen derselbe wie bei Ref. Ist \(R\) obendrein eine topologische Gruppe, so läßt sich der Satz des Ref. von der Existenz höchstens zweier Endpunkte mit fast demselben Beweis übertragen; d. h. entsteht der Raum der zusammenhängenden topologischen Gruppe \(R\) aus einem kompakten Raum durch Weglassung eines total zusammenhanglosen \(F_{\sigma}\), so besteht dies \(F_{\sigma}\) aus höchstens zwei Punkten.