Die \(A\)-Mengen und die topologische Konvergenz. (Q2612910)

Der sogenannten ``\(A\)-Operation'', welche die ``\(A\)-Mengen'' oder ``\textit{Suslin}schen Mengen'' eines Raumes \(R\) liefert, liegt die Bildung des \textit{Durchschnittes} zugrunde. In dieser Note wird gezeigt: Wenn man -- unter der Voraussetzung, daß \(R\) ein metrischer separabler Raum ist -- in der üblichen Erklärung der \(A\)-Operation die Bildung des Durchschnittes durch die des oberen oder durch die des unteren \textit{topologischen Limes} ersetzt, so entstehen ebenfalls die \(A\)-Mengen von \(R\) und nur diese Mengen. Mit anderen Worten: Es sei \(\{E_{i_1\ldots i_k}\}\) ein System von Punktmengen von \(R\), wobei \(k\) und die \(i_1,i_2\ldots\) unabhängig voneinander alle positiven ganzen Werte durchlaufen, und es bezeichne \(A_{\overline{t}}\{E_{i_1\ldots i_k}\}\) bzw. \(A_{\underline{t}}\{E_{i_1\ldots i_k}\}\) die Menge, die man erhält, wenn man erst für \textit{jede} Indexfolge \(i_1, i_2, \ldots\) den oberen bzw. den unteren topologischen Limes der \(E_{i_1\ldots i_k}\) konstruiert und dann alle diese Limesmengen summiert; dann ist sowohl \(A_{\overline{t}}\{E_{i_1\ldots i_k}\}\) als auch \(A_{\underline{t}}\{E_{i_1\ldots i_k}\}\) eine \(A\)-Menge von \(R\), und umgekehrt kann man auf diese Weise, ausgehend von geeigneten Mengen \(E_{i_1\ldots i_k}\), \textit{jede} \(A\)-Menge von \(R\) konstruieren. (IV 3 A.)