Über Polygone mit Um- oder Inkreis. (Q2613031)

Die Behandlung der Frage, unter welchen Bedingungen es Vielecke aus gegebenen Seiten gibt, die einen Um- oder Inkreis besitzen, und inwieweit alsdann diese Vielecke bestimmt sind, führt zu folgenden Ergebnissen: Aus gegebenen \(n\) Seiten \(a_1, a_2, \ldots, a_n\), die den Ungleichungen \(a_h < \sum\limits _{k=1}^n a_k\;(h = 1, 2,\ldots n, k\neq h)\) genügen, läßt sich in dieser Reihenfolge durch geeignete Wahl der Winkel auf eine und nur eine Art ein konvexes Vieleck mit Umkreis bilden. Für ungerades \(n\) kann allein dann ein konvexes Vieleck mit Inkreis, und zwar genau ein einziges, hergestellt werden, wenn die Seiten den Ungleichungen \(\sum \limits_{k=0}^{n-1}(-1)^k a_{h+k}>0 \;(h = 1, 2, \ldots, n)\) genügen. Für gerades \(n\) dagegen läßt sich nur dann ein Vieleck mit Inkreis herstellen, wenn \(\sum\limits_{h=1}^n(-1)^{h-1}a_h= 0 \) und gleichzeitig \(\sum\limits _{k=0}^{2\nu }(-1)^ka_{h+k}>0 \;\biggl(h = 1, 2, \ldots,n; \nu = 0, 1, 2, \ldots, \dfrac{n}{2}- 1\biggr)\) ist, und unter diesen Bedingungen gibt es sogar unendlich viele verschiedene solche Vielecke (\(a_{h+n} = a_h\); \(h= 1, 2, \ldots, n- 1\)). Für \(n = 5\) insbesondere läßt sich das Inkreisfünfeck mit alleiniger Benutzung von Zirkel und Lineal konstruieren.