Parallelprojektionen in nichteuklidischen Räumen. (Q2613067)

Die Arbeit bringt für drei spezielle Modelle nichteuklidischer Raumgeometrieen je ein darstellend-geometrisches Abbildungsverfahren. Für jedes dieser Verfahren werden die üblichen Lagen- und Maßaufgaben skizziert. Zunächst wird ein konformes Modell der hyperbolischen Geometrie betrachtet: Die Hauptkugel sei eine euklidische Ebene \(H\); die Geraden des hyperbolischen Raumes sind also die zu \(H\) senkrechten Kreise und Geraden, die hyperbolischen Ebenen die zu \(H\) senkrechten Kugeln und Ebenen, die hyperbolischen Punkte die zu \(H\) symmetrischen Punktepaare des euklidischen Raumes. Von diesen Gebilden wird nun eine euklidische Orthogonalprojektion auf \(H\) hergestellt, so daß sich durch geeignete (euklidische!) Umlegungen naturgemäß jede Aufgabe mit den Mitteln der Darstellenden Geometrie lösen läßt. -- Es wird zweitens ein projektives Modell der hyperbolischen Geometrie mit einteiliger euklidischer Kugel als Fundamentalfläche abgebildet, nämlich durch zwei stereographische Projektionen auf eine Mittelpunktsebene \(\varPi\); die Projektionszentren sind die Endpunkte des zu \(\varPi\) senkrechten Kugeldurchmessers. -- Endlich wird für das projektive Modell einer elliptischen Geometrie eine nullteilige Kugel als Eichfläche gewählt. Die Bildebene \(\varPi\) sei wieder eine Mittelpunktsebene, \(e_1\) und \(e_2\) seien zwei zu \(\varPi\) parallele und windschiefe Kngelerzeugende, \(f_1\) und \(f_2\) die beiden anderen zu \(\varPi\) parallelen Erzeugenden. Jedem Punkt \(P\) werden zwei Risse zugeordnet, die in \(\varPi\) ausgeschnitten werden durch die beiden den Netzen \([e_1e_2]\) und \([f_1f_2]\) angehörenden \(P\)-Strahlen. Diese Risse liegen auf dem Spurkreis der durch \(P\) gehenden \textit{Clifford}schen Fläche. (Die zugehörige Figur steht leider -- euklidisch! -- auf dem Kopf.) Solche ``Netzprojektionen'' sind von \textit{E. Müller, Kruppa, Eckhart} und dem Referenten für darstellend-geometrische Zwecke verwendet worden. Für die vorliegende nicht-euklidische Aufgabe erscheinen sie besonders zweckvoll. (V 1.)