Leçons d'algèbre et de géométrie à l'usage des étudiants des facultés des sciences. T. I: Algèbre linéaire. Homographie. Equations tangentielles. T. II: Coniques et quadriques. (Q2613076)

Der erste Band des Werkes gibt eine methodisch und didaktisch vollkommene Einführung in die rechnenden Methoden in ihrer Anwendung auf die projektive Geometrie. Es sind Vorlesungen im besten Sinne des Wortes, die bei gründlicher wissenschaftlicher Durcharbeitung und bis ins Einzelne gehenden Durchführungen die behandelten Lehr-und Forschungsgegenstände in anschaulicher Weise und in einer seltenen Vollständigkeit vor dem Leser ausbreiten, ihn selbst zu den Fragestellungen hinführen und zur Lösung der Aufgaben gründlich anleiten. Unter Bezugnahme auf die beiden Bände des früheren Lehrbuchs des Verf. ``Cours de mathématiques générales'' (1930, 1931; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 195; \(57_{\text{I}}\), 246), an deren Entwicklungen an vielen Stellen angeknüpft wird, wird in diesem Werke eine \textit{vollständige Darstellung der projektiven Geometrie der Ebene und des \(R_3\) in rechnender Behandlung} geboten, die in erster Linie auf die Bedürfnisse des Lernenden Rücksicht nimmt, was schon durch die sorgfältige Auswahl des Stoffes zum Ausdruck kommt, aber auch dem Lehrenden und Forschenden neue und insbesondere einfache Wege für die rechnerische Behandlung bestimmter Probleme erschließt. Das Werk ist in sieben Kapitel aufgegliedert, deren Inhaltsübersicht wir im folgenden angeben. Das erste Kapitel entwickelt ausführlich die Theorie der \(n\)-reihigen \textit{Determinanten}, die allgemeinen Sätze über dieselben, ihre Entwicklung nach Zeilen oder Kolonnen, die Regel von \textit{Laplace}, die Ableitung einer Determinante und den Multiplikationssatz von Determinanten. Das zweite Kapitel bringt die Auflösung \textit{linearer Gleichlingssysteme} nach der \textit{Cramer}schen Regel und Anwendungen auf Geometrie und Kinematik. Eine ausführliche \textit{Theorie der Linearformen}, ihrer Eigenschaften und ihrer vielseitigen Anwendungsmöglichkeiten bei Transformationsproblemen ist der Gegenstand des dritten Kapitels. Im Anschluß hieran werden im vierten Kapitel die \textit{quadratischen Formen} behandelt, ihre Zurückführung auf eine Summe von Quadraten gezeigt, das Trägheitsgesetz der quadratischen Formen abgeleitet und in einer Reihe von Beispielen die Tragweite der allgemeinen Theorie erprobt. -- Damit sind die Hilfsmittel, die für die folgenden, den Hauptgegenstand des Werkes ausmachenden Kapitel benötigt werden, zusammengestellt und es folgt im fünften Kapitel eine vollständige \textit{projektive Geometrie der Geraden}, die den Begriff des Doppelverhältnisses in den Mittelpunkt stellt und die fundamentalen Eigenschaften dieses Begriffes in aller Ausführlichkeit darlegt. Die Projektivitäten und Involutionen auf der Geraden werden im einzelnen untersucht, die Invohition auf der Viereckssekante mitbehandelt, am Schluß das gemeinsame Paar zweier Involutionen bestimmt. In sinngemäßer Weiterführung erfolgt jetzt im sechsten Kapitel die Verallgemeinerung auf die \textit{projektive Geometrie der Ebene und des \(R_3\)}. Es wird dabei von der Perspektive zweier Ebenen ausgegangen, homogene Koordinaten und ihre geometrische Deutung werden eingeführt und Parameterdarstellungen der Geraden gewonnen. Die Definition des Doppelverhältnisses für Ebenen eines Büschels führt zu der speziellen Korrelation, die im Gesetz von \textit{Chasles} ihren Ausdruck findet. Eine ausführliche Behandlung der Kollineationen schließt sich an, und eine Reihe von Beispielen erläutern die allgemeinen Durchführungen. Es folgt die projektive Klassifikation der Kegelschnitte und Quadriken (reell und komplex). Das Kapitel schließt mit der Anwendung auf Differentialgeometrie (ebene und Raumkurven, ihre Darstellung, Asymptotenlinien einer Fläche usw.). Das siebente Kapitel endlich entwickelt die \textit{Berührelemente} und die durch sie vermittelte Darstellung ebener und räumlicher algebraischer Kurven und algebraischer Flächen und bespricht die jeweiligen gestaltlichen Verhältnisse. Es erfolgt die entsprechende Darstellung der Kegelschnitte und Quadriken und die Klassifikation der Enveloppen zweiter Klasse der Ebene und des \(R_3\). Zum Schluß folgt die Methode der Multiplikatoren von \textit{Lagrange} aus der Theorie der Differentialgleichungen und ihre Anwendung auf Extremalprobleme. Eine Reihe von Beispielen aus der Geometrie und theoretischen Optik (\textit{Fresnel}sche Wellenflächen) schließen den Band ab. Der zweite Band setzt unmittelbar die Entwicklungen des ersten fort, benützt deren Ergebnisse und behandelt die im folgenden angegebenen Gegenstände. Allgemein kann von ihm dasselbe wie vom ersten Band gesagt werden. Im achten Kapitel wird die \textit{Polarentheorie der Kegelschnitte} sowohl rechnerisch, als such konstruktiv behandelt. Die Haupteigenschaften von Pol und Polare eines Kegelschnitts werden abgeleitet, hierauf der Satz von \textit{Apollonius} für Mittelpunktskegelschnitte bewiesen. Im zweiten Teil des Kapitels wird ausführlich die \textit{Transformation durch reziproke Polaren} untersucht; ferner werden Berührungstransformationen in der Ebene studiert, was zu außerordentlich interessanten Ergebnissen führt. Als Anwendungen erscheinen die geometrische Deutung der Dualität und Fußpunktkurven einer Kurve. Hieran anschließend bringt das neunte Kapitel die \textit{Polarentheorie der Flächen zweiter Ordnung} und leitet nach Entwicklung der Haupteigenschaften den Satz von Apollonius für Mittelpunktsquadriken her. Die Betrachtung der Transformation durch reziproke Polaren in bezug auf eine Quadrik und Berührungstransformationen im \(R_3\) schließen sich an. Als Anwendung wird u. a. die \textit{Legendre}sche Transformation behandelt. Das zehnte Kapitel entwickelt eine Theorie der Projektivitäten auf einem Kegelschnitt (krummliegende projektive Punktreihen). Im Anschluß daran werden die Sätze von \textit{Chasles, Pascal, Pappus-Pascal, Brianchon} und ihre Schrumpfungen bewiesen. Im elften Kapitel folgen die entsprechenden Untersuchungen im Raum. Im zweiten Teil werden Raumkubiken untersucht, ihre Haupteigenschaften entwickelt und das Doppelverhältnis von vier Punkten einer Kubik definiert. Als Anwendung folgen Betrachtungen über ebene rationale Kubiken. Das zwölfte Kapitel führt die komplexen Zahlen in geometrische Untersuchungen ein, definiert die Kreispunkte und leitet die Formel von \textit{Laguerre} her; die Beziehungen am isotropen Kegel vervollständigen die Durchführung. Eine projektive Definition des Winkels zweier Geraden (Richtungen) wird im Anschluß daran entwickelt. Es folgt die Ableitung des Formelsystems von \textit{Olinde Rodrigues} für endliche Drehungen. Vollständige Behandlungen der \textit{Kegelschnitt- und Quadrikenbüschel} sind Gegenstände des dreizehnten Kapitels. Die einzelnen Fälle werden in sehr interessanter Weise diskutiert, wobei stets auf die Anschaulichkeit und geometrische Durchsichtigkeit der Untersuchungen besonderer Wert gelegt wird. (III 1, V 5 B.)