Tétraèdres inscrits dans une cubique gauche (ou une biquadratique) et circonscrits à une développable de classe 3 (ou 4) ou à une quadrique. (Q2613174)

Ein Spezialfall des in dieser Arbeit allgemein gestellten und behandelten Problems ist die folgende Aufgabe: Es soll ein Tetraeder gefunden werden, das einer Quadrik \(Q\) einbeschrieben und zugleich einer anderen Quadrik \(Q_1\) umbeschrieben ist. Dieser Spezialfall wird zuerst näher untersucht, und dabei werden folgende Ergebnisse herausgestellt: (a) Haben \(Q\) und \(Q_1\) vier gemeinsame, ein windschiefes Vierseit bildende Erzeugende, so gibt es \(\infty ^5\) Tetraeder der verlangten Eigenschaft (Einfacher synthetischer Beweis nach \textit{Ch. H. Rowe}); (b) Besitzen \(Q\) und \(Q_{1}\) keine gemeinsamen Erzeugenden, so gibt es im allgemeinen \(\infty ^4\) Tetraeder der gesuchten Art (vgl. \textit{B. Gambier}, Ann. Ecole norm. (3) 51 (1934), 153-198; JFM 06.0000.*). Diese speziellen Ergebnisse werden für die folgenden Entwicklungen herangezogen. 1. Es wird zuerst das wichtige Ergebnis erhalten: Liegen die Ecken zweier Tetraeder auf ein und derselben Kubik \(\varGamma \), so sind ihre acht Seitenflächen Berührebenen an ein und dieselbe abwickelbare Kubik \(\varDelta \). 2. Die folgende Behandlung des Falles, daß die gesuchten Tetraeder einer Kubik einbeschrieben und einer Quadrik umbeschrieben sind, knüpft an das diesbezügliche \textit{Duporcq}sche Ergebnis (Nouv. Ann. de Math. (4) 2 (1902), 161-169; F. d. M. 33, 613 (JFM 33.0613.*)) an, das aussagt, daß \textit{drei} ein und derselben Kubik einbeschriebene Tetraeder ein und derselben Quadrik umbeschrieben sind, und daß es \(\infty ^2\) Tetraeder dieser Art gibt. Verf. vervollständigt dieses Resultat, indem er nachweist, daß schon die Existenz \textit{zweier} Tetraeder diejenige von \(\infty ^2\) Tetraedern sichert. Von diesem allgemeinen Ergebnis werden einige Sonderfälle, die durch gemeinsame Elemente gekennzeichnet sind, angegeben. Hieran knüpft sich die interessante Konstruktion einer ebenen unikursalen Quartik. 3. Die folgenden Entwicklungen führen zu einer neuen geometrischen Erzeugung dieser verschiedenen Tetraeder, die durch die folgenden Gleichungen definiert sind: (I) \(\lambda _1f_1(t)+\lambda _2f_2(t)=0\), (II) \(\lambda _1f_1(t)+\lambda _2f_2(t)+\lambda _3f_3(t)=0\), (III) \(\lambda _1f_1(t)+\lambda _2f_2(t)+\lambda _3f_3(t)+\lambda _4f_4(t)=0\), wo die \(f_i\) gegebene Polynome vierten Grades in \(t\) sind, und die \(\lambda _i\) beliebige Parameter darstellen. Für den Typ (I) beschreiben die Eckpunkte \(\varGamma \), die Seitenflächen berühren \(\varDelta \), und es wird gezeigt, daß eine Quadrik \(H\) existiert derart, daß alle Tetraeder des Typs (I) in bezug auf \(H\) konjugiert sind. -- Auch für den Typus (II) gibt es sehr interessante geometrische Ergebnisse. -- Für den Typ (III) ergeben sich nur mehr wieder die bereits durch \textit{Duporcq} gefundenen geometrischen Zusammenhänge. 4. Es werden endlich sehr interessante synthetische Entwicklungen über Tetraeder durchgeführt, die einer nichtzusammengesetzten, doppelpunktfreien biquadratischen Kurve \(\mathfrak B\) einbeschrieben und einer Developpablen der Klasse 4 und des Geschlechts 1 umbeschrieben sind. Die Seitenflächen des Tetraeders \(ABCD\) umhüllen eine solche Developpable \(\varDelta \); jeder Punkt \(A\) von \(\mathfrak B\) bestimmt ein einziges Tetraeder \(ABCD\), das \(A\) zur Spitze hat, und ein einziges Tetraeder \(A'B'C'D'\), dessen Fläche \(B'C'D'\) durch \(A\) geht. -- Es werden dabei zwei Lösungen angegeben, wobei Verf. für die Konstruktion der zweiten Lösung früher bewiesene Ergebnisse (Journ. de Math. (9) 12 (1933), 309-336; F. d. M. \(59_{\text{I}}\), 609) benützt. Zum Schluß werden die in diesem Zusammenhang auftretenden, noch offenen Fragen besprochen, insbesondere die Möglichkeiten der Gewinnung notwendiger Bedingungen für die Existenz solcher Tetraeder in Erwägung gezogen, da die vom Verf. angegebenen Bedingungen alle nur hinreichend sind.