Un' altra proprietà fondamentale delle serie di equivalenza sopra una superficie. (Q2613192)

Die Äquivalenzscharen auf einer Fläche \(F\) des \(R_{3}\) lassen sich durch Addition und Subtraktion endlichvieler Elementarscharen herstellen, d. h. solcher Scharen, die Niveaugruppen eines Paares rationaler Funktionen auf \(F\) sind. Variieren die Gruppen einer Elementarschar nur auf einer reduziblen oder irreduziblen Kurve bzw. überhaupt nicht, so spricht man von halbfesten bzw. festen Gruppen. Für die wirkliche Herstellung der Äquivalenzscharen ist der aus dieser Erklärung folgende Satz wichtig, daß kennzeichnend für eine Äquivalenzschar die Möglichkeit ist, ihre Gruppen außerhalb einer virtuellen Festgruppe als Schnittgruppen von \(F\) mit den Elementen eines kontinuierlichen Systems virtueller Raumkurven darzustellen. Viel tiefer liegt der folgende Satz, für den Verf. nur die Grundgedanken des Beweises skizziert: Notwendig und hinreichend dafür, daß eine Schar von Punktgruppen \(G\) auf einer Fläche \(F\) des \(R_{r}\) eine Äquivalenzschar sei, ist, daß die Gruppen \(G\) von einem stetig veränderlichen System wirklicher Mannigfaltigkeiten \(M_{r-2}\) außerhalb einer Festgruppe und einer wirklichen halbfesten Gruppe, die auf einer irreduziblen Kurve von \(F\) läuft, ausgeschnitten werden. Durch diesen Satz werden die virtuellen algebraischen Gebilde in der Konstruktion der Äquivalenzscharen beseitigt.