Über die asymptotischen Kurven bei einer gewissen Flächengattung und ein hiermit in Zusammenhang stehendes zahlentheoretisches Problem. (Q2613223)

Es wird das Flächenbüschel \(x^pw^q-\lambda \,y^r\,z^s=0\) mit \(p+q=r+s\), \(p\geqq r\geqq s\geqq q\), \(p\), \(r\), \(s\) sämtlich \(> 0\), \(q\lessgtr 0\) betrachtet, und zwar insbesondere im algebraischen Fall, wo \(p\), \(q\), \(r\), \(s\) ganze rationale Zahlen ohne gemeinsamen Faktor sind. Es gibt dafür eine Gruppe von \(\infty ^2\) projektiven Transformationen, die jede Fläche des Büschels in sich überführen; diese Transformationen werden explizit angegeben. Zu jeder eingliedrigen Untergruppe dieser zweigliedrigen Gruppe gehört ein System von \(W\)-Kurven als Bahnkurven, für die die Bedingung abgeleitet wird, daß sie auf den Flächen des Büschels liegen. Außerdem wird die Tangentengleichung dieser \(W\)-Kurven gewonnen und gezeigt, daß es unter ihnen gewisse Systeme gibt, die demselben tetraedalen Komplex zugehören. Auf den flachen des Büschels liegen zwei Arten von \(W\)-Kurven, die zu demselben tetraedalen Komplex gehören; für jeden dieser Komplexe läßt sich eine Zerlegung in ein System von \textit{Kongruenzen} bestimmen. Man erhält sie, indem man für die auf den verschiedenen Flächen des Büschels gelegenen \(W\)-Kurven die Tangenten nimmt. Eine solche Kongruenz enthält dann auch ein System von \(W\)-Kurven der anderen Art, die auf einer zweiten Fläche des Büschels liegen. Beide so erhaltenen Flächen sind die \textit{Brennflächen} der Kongruenz. Diese Brennflächen können sich auf zwei verschiedene Weisen in eine doppelte vereinigen, wobei allerdings nur der zweite Fall untersucht wird, in dem die beiden Kurvensysteme der Kongruenz zusammenfallen. Ihre Tangenten bilden dann ein System von \textit{Asymptotenlinien} der Brennfläche. -- Es wird auch gezeigt, daß es bei vorgegebenem System von \(W\)-Kurven immer ein Flächenbüschel der obigen Form gibt, für das dieses System die Bedeutung von Haupttangentenkurven hat. Hieran schließt sich die Bestimmung der beiden Systeme asymptotischer Kurven für ein beliebiges Büschel der obigen Form. Die Untersuchung des Falles dieser Bestimmung, in dem das Büschel aus lauter algebraischen Flächen besteht und noch verlangt wird, daß auch die asymptotischen Kurven algebraisch sind, führt zu der Bedingung, daß das Produkt \(p\cdot q\cdot r\cdot s\) das \textit{Quadrat einer ganzen rationalen Zahl} sein muß, was mit der oben angegebenen Nebenbedingung \(p + q = r + s\) auf das folgende \textit{zahlentheoretische Problem} führt: Bestimmung sämtlicher Produkte von vier ganzen Zahlen, welche vollständige Quadrate sind, und derart, daß noch immer zwei Paare gleicher Summe vorhanden sind. Die Lösung dieses Problems erfolgt von der geometrischen Betrachtung her vermittels der Differenzen von vier beliebigen ganzen Zahlen, von denen eine gleich Null gesetzt wird, was erlaubt ist. (III 6, V 6 B.)