Infinitesimale Verbiegungen zueinander projektiver Flächen. (Q2613308)

Bei einer infinitesimalen Verbiegung der Fläche \(X\) erfährt jedes Flächenelement eine infinitesimale Schraubung (Drehung und Verschiebung). Die Fläche \(Y\), deren Ortsvektor der Vektor der Drehung des Flächenelementes von \(X\) ist, heißt nach \textit{Blaschke} Drehriß. Verf. denkt sich nun die Drehung der Flächenelemente um Achsen durch den Koordinatenanfangspunkt ausgeführt. Dann sind die in der Schraubung enthaltenen Verschiebungen der Flächenelemente eindeutig bestimmt. Die Fläche \(Y_0\), deren Ortsvektor der Verschiebungsvektor ist, wird Verschiebungsriß genannt, und das Flächenpaar \(Y\), \(Y_0\) heißt Schraubriß. Die Beziehung zwischen den Flächenpaaren \(X\), \(X_0\) (\(=\) Orthogonalfläche zu \(X\)) und \(Y\), \(Y_0\) ist wechselseitig, d. h. jedes der beiden Flächenpaare kann als Schraubriß für eine Verbiegung der ersten Fläche des anderen Paares aufgefaßt werden. Verf. betrachtet nun eine zu der gegebenen Fläche \(X\) projektive Fläche \(X'\) (bzw. eine dualprojektive Fläche \(\varXi'\)) und gibt zunächst einen neuen Beweis des \textit{Darboux}schen Satzes, daß sich aus einer vorgegebenen infinitesimalen Verbiegung der Ausgangsfläche \(X\) in bestimmter Weise eine Verbiegung der Fläche \(X'\) (bzw. \(\varXi'\)) herleiten läßt. Weiter findet Verf. folgenden Satz über die Transformation des Schraubrisses bei einer projektiven bzw. dualprojektiven Abbildung der Fläche \(X\) auf \(X'\) bzw. \(\varXi'\): Aus einer gegebenen Fläche \(X\) und einem gegebenen Schraubriß \(Y\), \(Y_0\) von \(X\) erhält man für jede zu \(X\) projektive Fläche \(X'\) bzw. dualprojektive Fläche \(\varXi'\) einen Schraubriß, indem man die Linienkoordinaten der Tangenten der Fläche \(X\) und die Schraubenkoordinaten des Schraubrisses \(Y\), \(Y_0\) der nämlichen linearen Transformation unterwirft. Die \textit{Darboux}sche Aufgabe, aus einer Verbiegung von \(X\) eine Verbiegung von \(X'\) (bzw. \(\varXi'\)) herzuleiten, vereinfacht sich auf Grund dieser Ergebnisse insofern, als die die Verbiegung von \(X'\) bzw. \(\varXi'\) bestimmenden Funktionen jetzt lediglich durch algebraische Operationen berechnet werden können. Zum Schluß untersucht Verf. das Verhalten der ``wackeligen'' und der ``krümmungsfesten'' Kurvennetze, deren projektive Invarianz er in früheren Arbeiten nachgewiesen hat, bei dualprojektiven Abbildungen. Hier ergibt sich insbesondere der Satz, daß ein aus zwei konjugierten Kurvenscharen bestehendes wackeliges Kurvennetz bei dualprojektiver Flächenabbildung in ein krümmungsfestes Kurvennetz übergeht.