Proprietà in grande delle linee piane convesse: Sulle ovali inscritte o circoscritte ad un poligono convesso. (Q2613344)

Die Sätze zweier vorangehenden Noten des Verf. (Rend. Accad. d. L. Roma (6) 20 (1934), 407-410; 455-458; JFM 60.0675.*) werden zum Vergleich von zwei Eikurven \(C, C'\) verwendet, die dem gleichen konvexen \(2n\)-Eck einbeschrieben sind; bezieht man diese durch parallele Tangenten aufeinander, so besitzt die Differenz der Krümmungsradien entsprechender Punkte genau \(n\) positive Maxima, die mit \(n\) negativen Minima abwechseln. Ist \(\delta\) zwischen kleinster und größter Breite \(d\) bzw. \(D\) gelegen, so kann man um \(C\) einen Rhombus der Breite \(\delta\) legen und schließen, daß auf \(C\) mindestens vier Punkte mit dem Krümmungsradius \(\tfrac{1}{2}\delta\) liegen, zwischen die (mindestens) vier Scheitel fallen; und in diesen sind mindestens zwei maximale Krümmungsradien \(\geqq\tfrac{1}{2}D\) und mindestens zwei minimale \(\leqq\tfrac{1}{2}d\) (Satz von \textit{Bose}). Zwei konvexe Bögen können unendlich viele Punkte gemein haben, ohne einen gemeinsamen Teilbogen zu besitzen. Haben zwei Eikurven nur endlich viele Punkte gemein, so haben sie auch die gleiche Zahl an gemeinsamen Tangenten, und umgekehrt, mit Ausnahme des Falles, daß sich beide Kurven überhaupt nicht schneiden bzw. in einem Punkte außen berühren. Zwei Eikurven \(C\) und \(C'\), die sich ohne Berührung schneiden, haben also \(2n\) Schnittpunkte und ebensoviele Tangenten gemein, deren Richtungen je zwischen den Seitenrichtungen des \(2n\)-Ecks der Schnittpunkte liegen. Bezieht man \(C, C'\) durch parallele Tangenten aufeinander, so hat die Differenz der Krümmungsradien entsprechender Punkte \(n-1\) positive Maxima und \(n-1\) negative Minima, also an \(2(n-1)\) Stellen den Wert Null. Wendet man dies auf zwei durch infinitesimale Drehung auseinander hervorgehende Eikurven an, so folgt, daß die Zahl der Normalen einer Eikurve, die durch einen beliebigen Punkt der Ebene gehen, die um zwei vermehrte Scheitelanzahl nicht übertrifft.