Über Krümmungseigenschaften im Großen von Eilinien und Eiflächen. (Q2613345)

Ist \(f(t)\), \(0\leqq t\leqq 2\pi\), stetig und \[ \int\limits_0^{2\pi}f(t)\sin\, tdt = 0, \qquad \int\limits_0^{2\pi}f(t)\cos\, tdt = 0, \] so gibt es drei Paare von Gegenpunkten mit \(f(t) = f(t+\pi)\), und \(f\) hat vier Extrema. Darin ist \textit{Blaschke}s ``Satz von den Gegenpunkten'' und der Vierscheitelsatz enthalten (\(f = \) Krümmungsradius), und es ergeben sich sofort weitergehende Sätze, darunter der Vierscheitelsatz der Relativgeometrie. Ein Beweis des letzteren ergibt sich auch aus dem Hilfssatz: Zwei konvexe Kurvenbögen \(c\) und \(C\) mögen sich in ihren den Tangentenwinkeln \(t = 0\) und \(t = w\leqq\pi\) entsprechenden Endpunkten berühren. Für ihre Krümmungsradien gelte \(r(0)\geqq R(0)\), \(r(w)\geqq R(w)\). Dann kann nicht im ganzen Intervall \(0\leqq t\leqq w\) auch \(r(t)\geqq R(t)\) sein, wenn \(c\) und \(C\) nicht zusammenfallen. Daraus folgt auch eine Behauptung von \textit{Segre} (vgl. Rend. Accad. d. L. Roma (6) 20 (1934), 407-410; JFM 60.0675.*) über den Wertevorrat der Krümmung von Kurvenbögen, die die Geraden \(g, h\) in den Punkten \(G, H\) berühren. Für Eiflächen ergibt der Hilfssatz ``Zwei auf der Kugelfläche stetige und ungerade Funktionen \(f, g\) besitzen mindestens eine gemeinsame Nullstelle'', angewandt auf \(r_i(x)-r_i(-x)\), wobei \(x\) der Einheitsvektor der Flächennormale, \(r_1, r_2\) die Hauptkrümmungsradien sind: Es gibt ein Paar von Gegenpunkten, für das die \textit{Dupin}schen Indikatrizen kongruent sind, und (mit Hilfe der Relativgeometrie der Fläche bezüglich der Fläche der Gegenpunkte) ein Paar, für das sie einander homothetisch sind.