Vorlesungen über Integralgeometrie. I. (Q2613352)

Der geschichtliche Ausgangspunkt der Untersuchungen dieses Buches ist das \textit{Buffon}sche Nadelproblem und verwandte Fragen über geometrische Wahrscheinlichkeiten, wie sie besonders von den Engländern betrieben worden sind. (Vgl. etwa die Anfangsjahrgänge dieser Fortschritte.) 1868 ist insbesondere zuerst von \textit{Crofton} in der Ebene der Begriff der Geradendichte eingeführt worden, die, in Analogie zum Flächenelement für die Punktmannigfaltigkeiten, durch Integration gestattet, den zweiparametrigen Geradenmannigfaltigkeiten einen Inhalt zuzuordnen. Diese Untersuchungen sind vom Verf., angeregt durch eine nicht veröffentlichte Vorlesung von \textit{Herglotz}, aufgegriffen worden, und darauf ist in einer Reihe von Arbeiten von ihm und einigen Mitarbeitern (vgl. u. a. die nachfolgenden Besprechungen) eine Fülle geometrisch schöner Resultate zutage gefördert worden, die, soweit sie die Ebene betreffen, ihren Niederschlag in diesem I. Teil gefunden haben. Unter Verwendung der alternierenden Differentialformen wird zunächst die Geradendichte \(\dot{\mathfrak g}\) nach \textit{Crofton} eingeführt und das Ergebnis \textit{Crofton}s gezeigt, daß das Integral \(\int n\dot\mathfrak g\) über die Menge aller Geraden, die eine ebene Kurve treffen, wobei \(n\) die jeweilige Zahl der Schnittpunkte von Kurve und Gerade ist, gleich der doppelten Länge derselben ist. Als Anwendung wird ein Satz über die Treffgeraden zweier Eikörper hergeleitet, und es werden die Integrale \(\int s^k\dot\mathfrak g\) berechnet, wo \(s\) die Länge der Sehne ist, die eine Gerade mit einem Eibereich gemein hat. \S~9 enthält dann die von \textit{Poincaré} eingeführte kinematische Dichte \(\dot\mathfrak X\), ein dreifaches Differential, das gestattet, dreifach unendlichen Gesamtheiten von Bewegungszuständen ein Maß als Integralinvariante zuzuordnen. Diese kinematische Dichte wird auf mehrfache Weise und auch unter Benutzung der Geradendichte geschrieben und ihre Invarianz gegenüber Bewegung der Ebene, Wahl des Achsenkreuzes und gegenüber der Auffassung der Bewegung von der einen oder andern Ebene aus erwiesen. Die Anwendung geschieht dann, wie vielfach in der Integralgeometrie, so, daß die Dichte, in mehrfacher Gestalt und evtl. noch mit einem variablen Faktor versehen, über bestimmte dreiparametrige Bewegungszustände erstreckt und auf verschiedene Weise integriert wird. Als grundlegend wird zunächst die Formel von \textit{Poincaré} \(\int n\dot\mathfrak X=4L_0L\) hergeleitet, wobei die Integration über sämtliche Lagen einer beweglichen Kurve \(\mathfrak C\) erstreckt wird, in denen sie eine feste Kurve \(\mathfrak C_0\) schneidet, und \(n\) die Schnittpunktszahl, \(L_0\) und \(L\) die Längen von \(\mathfrak C_0\) und \(\mathfrak C\) bedeuten. Die Hauptanwendung dieser Formel stammt dann von \textit{Santalò} (Geometría integral. IV, Abhandl. Hamburg 15 (1936), 222-236; F. d. M. 62), der die kinematische Dichte über alle Lagen integriert, in denen ein beweglicher Eibereich (speziell eine Strecke oder ein Kreis) einen festen trifft und auf diese Weise unmittelbar die isoperimetrische Ungleichung, auch in ihrer Verschärfung von \textit{Bonnesen}, und darüber hinaus eine Deutung für das isoperimetrische Defizit erhält. Nach einer Abschweifung auf die \textit{Bonnesen-Minkowski}sche Ungleichung über den gemischten Flächeninhalt zweier Eibereiche, die auch nach den Methoden des Buches hergeleitet wird, folgt im \S~16 die sog. kinematische Hauptformel \(\int K_{01}\dot\mathfrak X=2\pi(K_0F_1+U_0U_1+F_0K_1)\), wo über alle Lagen integriert wird, in denen der Bereich \(\mathfrak B\) den Bereich \(\mathfrak B_0\) trifft, \(K_0\), \(K_1\), \(K_{01}\) die Integrale der geodätischen Krümmung von \(K_i\) und ihrem Durchschnitt und \(U_i\), \(F_i\) Umfang und Inhalt von \(\mathfrak B_i\) bedeuten. Die Gebiete brauchen nicht mehr konvex zu sein, ja es wird weiterhin sogar gezeigt, daß die letzte Formel, sinngemäß gedeutet, auch für beliebige ebene Strecken- und Dreieckskomplexe gilt. Schließlich enthält das Buch noch einen Beweis von \textit{Crofton}s Formel über die Geradendichte unter der allgemeineren Voraussetzung nur rektifizierbarer Kurven und eine Sammlung von Aufgaben. Gegenüber der 1. Auflage von 1935 enthält die 2. Auflage von 1936 neben kleineren Änderungen vor allem diese letzten Paragraphen neu, in denen von Beziehungen zu Mengentheorie und Topologie die Rede ist. (V 6 B.)