Integralgeometrie I. (Q2613353)

Bezüglich der Vorgeschichte der Problemstellung vergleiche man das vorstehende Referat. Sind \(a^i\;r\;(r < n)\) paarweise orthogonale Einheitsvektoren mit den Koordinaten \[ a_k^i\qquad(i=1, 2, \dots,r;k= 1, 2,\dots,n), \] \(b^{i}\;n- r = s\) weitere Vektoren, die mit \(a^i\) zusammen ein normiertes orthogonales \(n\)-Bein im euklidischen \(n\)-dimensionalen Raum \(E_n\) bilden, so schneidet der \(E_r\) der Vektoren \(a^i\) auf der Einheitskugel \(K_n\) in \(E_n\), \[ \sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2=1, \] eine ``Großkugel'' \(K_r\) aus, die von \(rs\) wesentlichen Parametern abhängt. Dann besteht die erste Aufgabe der Theorie in der Bestimmung eines ``Maßes'', \[ M_r=\int f\,du_1\,du_2\dots du_{rs}, \] invariant gegenüber Drehungen von \(K_n\) in sich. Setzt man \(da_t^i =\dot a_t^i\) usw., so genügt die Dichte \[ F_r=\prod_{\substack{ i=1,\dots,r\\k=1,\dots,s}} p^{ik},\qquad p^{ik}= +\sum_t\dot a_t^ib_t^k=-\sum_t a_t^i\dot b_t^k, \] sowohl der Forderung der Parameter- wie auch der der Drehinvarianz und ist bis auf einen konstanten Faktor eindeutig bestimmt. Weiterhin ist für \(F_r\) noch Unabhängigkeit von der Wahl der Vektoren \(a^i\) in \(E_r\) und der Vektoren \(b^i\) orthogonal zu \(a^i\) zu verlangen (Wahlinvarianz). Natürlich darf \(F_r\) nicht identisch verschwinden. Aus den so gewonnenen Ergebnissen folgt sowohl ein unmittelbarer Zugang zum ``Dualitätsprinzip auf \(K_n\)'' durch Vertauschung von \(a^i\) mit \(b^i\) bzw. \(E_r\) mit \(E_s\) bzw. \(K_r\) mit \(K_s\) bzw. \(F_r\) mit \(F_s\), wobei die Dichten \(F_r\) und \(F_s\) sich höchstens durch ihr Vorzeichen unterscheiden, als auch der Übergang zur nichteuklidischen Geometrie: \[ \sum_{u,v}A_{uv}x_ux_v=1,\qquad p^{ik}=\sum_{u,v}A_{uv}\dot a_u^ib_v^k. \] Von der Dichte \(F_r\) der sphärischen Geometrie gelangt man zur Dichte \(G_r\) euklidischer \(E_r\) in euklidischen \(E_n\), invariant gegenüber Bewegungen des \(E_n\), vermöge der Relation \[ G_r=\prod_{j=1,\dots,s}v^jF_r\qquad (v^i =\sum_tb_t^i\dot x_t), \] die sämtlichen Invarianzforderungen genügt. Die Invariante \[ S=\prod_{i<k}p^{ik}\qquad(p^{ik}=+\sum_t\dot a_t^ia_t^k=-\sum_t a_t^i\dot a_t^k) \] (als Parameter-Dreh- und Wahlinvariante) wird die Dichte für das Maß der \textit{sphärischen} Kinematik genannt. Mit ihrer Hilfe ergibt sich wiederum die kinematische Dichte von \(E_n\) vermöge \[ T=G_0S,\qquad G_0=\prod_{i=1}^n\dot x_i, \] wie man sie für \(n = 2\), 3 \textit{H. Poincaré} verdankt (vgl. Calcul des probabilités (1896, 1912; F. d. M. 43, 308 (JFM 43.0308.*)), Chap. VII, VIII). Die Dichte \(S\) der sphärischen Kinematik ist ferner ``umsturzinvariant'': \[ S =\prod_{i<k}p^{ik} =\prod_{i<k}p_{ki}\qquad (p^{ik} = \sum_t\dot a^i_t a_t^k, p_{ik}=\sum_i\dot a_i^t a_k^t,\qquad a_k^i\text{ orthogonal}), \] welche Eigenschaft sich wiederum auf die kinematische Dichte \(T\) überträgt. Zum Schluß berichtet Verf. über weitere Untersuchungen seiner Schüler (vgl. insbesondere die nachstehenden Referate sowie \textit{L. A. Santalò}, Geometria integral. IV, Abhandl. Hamburg 15 (1936), 222-236; F. d. M. 62. (V 6 B.)