Integralgeometrie. II. (Q2613354)

In der vorstehend besprochenen Arbeit hat Verf. unter anderem den Begriff der ``Dichte'' eines \(E_r\) (cartesischer \(r\)-dimensionaler Raum, \(r < n\)), festgelegt durch einen Punkt \(x^i\;(i= 1, 2,\dots, n)\) und ein genormtes Einheitsorthogonalvektorbein \(a_t^i\;(i = 1, 2,\dots, r; t = 1, 2,\dots, n)\), in einem \(E_n\) durch das alternierende Produkt \[ G_r=\prod_{j=1}^s\eta^j\cdot\prod_{i,k=1}^{r,p}q^{ik} \tag{*} \] \textit{Pfaff}scher Formen \[ \eta^k=\sum_tb_t^k\dot x_t,\qquad q^{ik}=\sum_t\dot a_t^ib_t^k=-\sum_ta_t^i\dot b_t^k \] erklärt, wobei \(b_s^k\) weitere \(s = n-r\) orthogonale normierte (von \(a_t^i\) unabhängige) Vektoren bedeuten \((\dot a_t^i = da_t^i, \dot b^k_t = db_t^k)\). Sind dann \(u^{ji}\) und \(v^{jk}\) die Koordinaten von \(r + 1\) linear unabhängigen Punkten \(x_t^j\) und ist die Determinante \[ V=\begin{vmatrix} 1&u^{01}&\cdots&u^{0r}\\ \cdot&\cdot&&\cdot\\ \cdot&\cdot&&\cdot\\ \cdot&\cdot&&\cdot\\ 1&u^{r1}&\cdots&u^{rr}\\ \end{vmatrix}\neq0, \] so gilt allgemein: \[ G_r=\frac1{V^s}\prod_{j,k=0,1}^{r,s}\eta^{jk}\quad (\eta^{jk}=\sum_tb_t^k\dot x_t^j). \tag{**} \] Zum Nachweis wird gezeigt: 1) (**) ist bei Linearkombination der Punkte \(x^i\) invariant; 2) (**) enthält (*) als Sonderfall. Mit diesen Ergebnissen gelingt nunmehr die Verallgemeinerung der für \(n = 2\) von \textit{M. W. Crofton}, für \(n = 3\), \(r = 1\) von \textit{G. Herglotz} und für \(n = 3\), \(r = 2\) von \textit{B. Petkamtschin} bewiesenen Identität \[ \prod_{j=0}^{r}X^i = V^s\prod_{j=0}^rU^j G_r\quad (r+s = n). \] Dabei gilt \[ U^j=\prod_{i=1}^r\dot u^{ji},\quad X^j=\prod_{k=1}^n\dot x_k^j. \] Verf. verwendet die auf \textit{H. Poincaré} und \textit{E. Cartan} zurückgehenden Methoden alternierender Produkte und bei der Definition der Größen \(X^j\) eine Indexstellung, die zum Schluß der Arbeit ihre Erklärung findet. (V 6 B.)