Sugli elementi curvilinei che hanno comuni le origini ed i relativi spazi osculatori. (Q2613369)

Im \(R_{n+1}\) seien zwei Kurvenzweige \(L\), \(L'\) gegeben, die den gleichen Anfangspunkt \(O\), die gleiche Tangente \(R_1\), die gleiche Schmiegebene \(R_2\),\dots mit jeweils gleicher Berührungsordnung haben, also in inhomogenen projektiven Koordinaten die Gleichungen \[ x_r=a_rx_0^{\mu_r}+\cdots,\;x_r=a_r'x_0^{\mu_r}+\cdots\quad (a_ra_r'\neq0;r=1,\dots,n;\,1<\mu_1<\cdots<\mu_n) \] besitzen; dann sind die Größen \[ I_r=\frac{a_r}{a_r'}\quad(r=1,\dots,n) \] unabhängig von der Koordinatenwahl und invariant gegenüber projektiven Transformationen von \(L\) und \(L'\). Der Satz verallgemeinert ein für \(n = 1\) von \textit{C. Segre} gefundenes Ergebnis. Er wird durch vollständige Induktion bewiesen. Ist \(O\) ein gewöhnlicher Punkt von \(L\), \(L'\), so sind die Verhältnisse zwischen je zwei entsprechenden der \(n\) Krümmungen von \(L\), \(L'\) die Invarianten. Geht man von \(L\), \(L'\) durch eine duale Abbildung zu zwei Zweigen \(L^*\), \(L^{*}{}'\) über, so hängen deren analoge Invarianten mit den \(I_r\) durch die Gleichungen \[ I_r^*=\left(\frac{I_{n-1}}{I_n}\right)^{\tfrac{\mu_n-\mu_{n-r-1}}{\mu_n-\mu_{n-1}}} \cdot\frac{I_n}{I_{n-r-1}}\qquad (\mu_{-1}=0,\,\mu_0=1;\,I_{-1}=I_0=1) \] zusammen.