I birapporti sulle superficie non sviluppabili dello spazio, e le condizioni geometriche per l'equivalenza proiettiva fra queste. I, II. (Q2613377)

Längs einer Kurve \(L\) auf einer nichtabwickelbaren Fläche denkt man sich die beiden Regelflächen, deren Erzeugende asymptotische Tangenten längs \(L\) sind. Auf jeder dieser Regelflächen bilden je vier Erzeugende das \textit{Cartan}sche Doppelverhältnis (\textit{Cartan}, Sur les développantes d'une surface réglée; Bull. Acad. Roumaine Sc. 14 (1931), 167-174; F. d. M. 57). Wenn für jedes beliebige Quadrupel von Punkten der Kurve \(L\) die entsprechenden Doppelverhältnisse auf den Regelflächen gleich sind, so heißt die Kurve eine projektive Kurve. Ihre Gleichung in den normalisierten, dual sich entsprechenden Koordinaten ist \((x, dx, d^2x, d^3x)\pm (\xi, d\xi, d^2\xi, d^3\xi) = 0\) (dabei gilt das obere (untere) Zeichen für lauter hyperbolische (elliptische) Punkte). Die drei Scharen von Kurven, nämlich die projektiven, die ebenen (d. i. \((x, dx, d^2x, d^3x)=0\)) und die ``konischen'' (das sind die Berührungskurven der umschriebenen Kegel \((\xi, d\xi, d^2\xi, d^3\xi) = 0\)) sind (mit einziger Ausnahme von Quadriken) immer verschieden. Notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß eine eineindeutige Zuordnung zwischen zwei Flächen eine projektive Äquivalenz wird, ist, daß sich durch diese Zuordnung die projektiven Kurven entsprechen. Einzige Ausnahme bilden dabei die Flächen, bei denen die kanonischen Geraden zusammenfallen (und die also alle auf tetraedrale Flächen projektiv abwickelbar sind).