Le linee proiettive ed un invariante d'immersione di una curva su di una superficie. (Q2613378)

In dieser Arbeit wird die, vom Verf. schon früher entdeckte Invariante \(J\) (Rend. Accad. d. L. Roma (6) 22 (1935), 392-399; F. d. M. \(61_{\text{I}}\), 768) zur Charakterisierung verschiedener Linien auf einer nicht abwickelbaren Fläche (welche keine Quadrik ist) verwendet. Ist die untersuchte Linie keine asymptotische Linie, so gilt in den normalisierten, dual sich entsprechenden Koordinaten \[ J=\frac{(x, dx, d^2x, d^3x)-\varepsilon(\xi, d\xi, d^2\xi, d^3\xi)} {(x, dx, d^2x, d^3x)}, \tag{1} \] wo \(\varepsilon = + 1\) bzw.\({} = - 1\), je nachdem, ob die Fläche in der Umgebung des betrachteten Punktes aus hyperbolischen bzw. elliptischen Punkten besteht, und die Klammern Determinanten bezeichnen. Mit Hilfe der Resultate der vorstehend besprochenen Arbeiten desselben Verf. folgt aus (1), daß \(J = \infty\) bzw. \({}= 2\) bzw. \({}= 1\) charakteristisch für eine ebene bzw. projektive bzw. konische Kurve ist. Aus der Definition einer Pangeodätischen folgt außerdem, daß für solch eine Kurve \(J = 0\) charakteristisch ist. Die zu \(J\) duale Invariante \(\text{*} J\) genügt der Gleichung \(J\cdot \text{*}J - \text{*} J- J = 0\).