Zur differentiellen Liniengeometrie einer zwölfgliedrigen Gruppe. II. (Q2613408)

Die Lektüre dieser Arbeit, einer unmittelbaren Fortsetzung der Dissertation des Verf. (vgl. Math. Z. 38 (1933), 45-69; F. d. M. \(59_{\text{I}}\), 674), setzt, von allgemeiner Bekanntschaft mit differentieller Liniengeometrie abgesehen, insbesondere noch die Kenntnis folgender Begriffe voraus: Hauptflächen eines Strahlsystems, \(A\)-Systeme, \(B\)-Systeme dualkonforme Abbildungen, Garben, Schmieggarben, Speerketten, Speerkugeln. Unter Hauptflächen hat man diejenigen Regelflächen eines Strahlsystems zu verstehen, welche Fortschreitungsrichtungen \(du : dv\) entsprechen, für die die zugehörigen Dralle Extremwerte annehmen; ihr reelles sphärisches Bild stellt ein Orthogonalnetz dar, und sie besitzen in jedem Strahl einen gemeinsamen Kehlpunkt; sie sind invariant gegenüber der Gruppe \(G_{12}\) aller dualkomplexen Transformationen: \[ T^*=\frac{AT+B}{CT+D},\quad T=r+is+\varepsilon(\overline{r}+i\overline{s}),\;i^2=-1,\;\varepsilon^2=0. \] Die Gesamtheit alier reellen Geraden auf den isotropen Ebenen des dreidimensionalen komplexen euklidischen Raumes durch einen festen Punkt bilden eine Garbe. Jedem Punkt \(\mathfrak Z(t_0)\) der isotropen Gratlinie einer einparametrigen isotropen Ebenenschar entspricht so eine bestimmte Erzeugende \(\mathfrak a(t_0)\) einer Regelfläche, und die zu \(\mathfrak Z(t_0)\) gehörige Garbe geht durch zwei benachbarte Erzeugende der Regelfläche hindurch; derartige Garben nennt Verf. Schmieggarben. Legt man an die Hauptflächen eines Strahlsystems \(A\) die Schmieggarben und betrachtet deren zweite Schnittgeraden mit den Hauptflächen, so bildet die Gesamtheit dieser Schnittgeraden das zum \(A\)-System gehörige \(B\)-System. Betrachtet man als drittes Strahlsystem, \(K\)-System, die Gesamtheit aller Verbindungsgeraden von \(\mathfrak Z\) und \(\overline{\mathfrak Z}\), also die Richtungsvektoren \[ \mathfrak y=-\frac iI(\mathfrak Z-\overline{\mathfrak Z})\qquad (I(u, v)\text{ Differenz der Hauptdralle}), \] so verschwindet für \(A\)-Systeme, bei denen das \(B\)-System durch gleichsinnig dualkonforme Abbildung aus dem \(A\)-System hervorgeht, die Determinante \[ W=\mathfrak y_u^2\mathfrak y_v^2-(\mathfrak y_u\mathfrak y_v)^2=EG-F^2 \] identisch, und die Hauptdralldifferenz \(J\) ist durch die Differenz \(\varTheta-\overline{\varTheta}\) der den Kehlpunkten \(\mathfrak X\) und \(\overline{\mathfrak X}\) im \(K\)-System in der \(u\)- und \(v\)-Richtung entsprechenden Dralle gegeben, und die Bedingungen sind für derartige \(A\)-Systeme charakteristisch. Dabei hat man unter dualkonformen Abbildungen solche vom Typus \[ T^* = F(T) = F (t) + \varepsilon F' (t)\cdot \overline{t}\qquad ( T = t + \varepsilon \overline{t}) \] zu verstehen \(\big(d\varphi^* + \varepsilon d\overline{\varphi}{}^* = (a +\varepsilon b) (d\varphi + \varepsilon d\overline{\varphi}\big)\). Nach einer genaueren Untersuchung der Integrabilitätsbedingungen, welchen die Invarianten \(I\), \(\dfrac E{I_u^2}\), \(\dfrac F{I_uI_v}\), \(\dfrac G{I_v^2}\), \(\varTheta-\overline{\varTheta}\) insbesondere noch für gleichsinnig dualkonformverknüpfte \(A\)- und \(B\)-Systeme genügen, werden nunmehr Spezialfälle betrachtet. So wird etwa unter der Annahme \(E = - G = - 1\) das reelle sphärische Bild der Hauptflächen aus einem durch zwei feste Punkte gehenden Kreisbüschel und der zugehörigen Schar von Orthogonaltrajektorien gebildet. Das Kreisbüschel kann auch aus Kreisen bestehen, die sich alle in einem festen Punkt berühren. Ferner wird die Frage beantwortet, wann das reelle sphärische Bild des \(B\)-Systems aus dem des \(A\)-Systems durch eine Transformation der sechsgliedrigen Gruppe der \textit{Möbius}schen Kreisverwandtschaften hervorgeht. Schließlich wird untersucht, wann das \(B\)-System aus dem \(A\)-System durch eine Transformation aus \(G_{12}\) entsteht. Als Eigenschaften derartiger Strahlsysteme ergeben sich: Die Hauptflächen sind isogonale Trajektorien eines Garbenbüschels; die reellen sphärischen Bilder der Hauptflächen schneiden die Kreise eines Büschels isogonal, das durch die Punkte der Einheitskugel hindurchgeht, die die Richtungen der beiden Geraden angeben, die die Garben des eben erwähnten Garbenbüschels gemeinsam haben. In einem weiteren Abschnitt untersucht Verf. Strahlsysteme, deren Hauptflächen Speerketten sind. Dabei sind unter Speerketten \(\infty^1\) Gerade einer Garbe zu verstehen von der besonderen Eigenschaft, daß das sphärische Bild ihrer zentrierten Einheitsvektoren einen Kreis bildet. Sieht man von den Fällen ab, wo das \(B\)-System sich im sphärischen Bild auf eine Kurve zusammenzieht, so ergeben sich sechs verschiedene Typen derartiger Strahlsysteme, deren keiner mit einem anderen durch eine Transformation aus \(G_{12}\) zusammenhängt (Ia, b; IIa, b; IIIa, b). Für die Repräsentanten dieser sechs Typen gibt Verf. eine explizite Vektordarstellung und überdies für jeden Typus eine genau detaillierte geometrische Konstruktion. Die Systeme Ia nennt Verf. Parabelstrahlsysteme, behandelt sie mit Vorzug und konstruiert sie folgendermaßen: Man betrachte zwei Parabeln in aufeinander senkrechten Ebenen, derart, daß ihre Brenn- und Scheitelpunkte wechselseitig zusammenfallen. Dann verbinde man alle Punkte der einen Parabel mit allen Punkten der anderen und orientiere diese Geraden gleichsinnig. Zieht man jetzt durch den Ursprung gleichsinnige Parallelgeraden und ``schwenkt'' die ursprünglichen Verbindungsgeraden um ihre Parallelen durch den Ursprung um einen (positiven) rechten Winkel, so bilden die ``geschwenkten'' Geraden das System Ia. In jedem Parabelstrahlsystem gibt es einen ausgezeichneten Strahl, nämlich den, in dem die Invariante \(I\) einen stationären Wert besitzt. Zu jedem Strahl eines ``allgemeinen'' Systems gibt es \(\infty^1\) Parabelstrahlsysteme, deren Hauptflächen sich den Hauptflächen des allgemeinen Systems bis zur 2. Ordnung anschmiegen. Ihre ausgezeichneten Strahlen beschreiben eine Sperrkette. Ferner: In einem Parabelstrahlsystem gehen die Schmiegkugeln an die Hauptflächen alle durch die dem ausgezeichneten Strahl zugehörige Gerade des \(B\)-Systems. Schließlich ergibt sich noch: Es gibt ein und nur ein Parabelstrahlsystem, das sich einem allgemeinen Strahlsystem bis zur zweiten Ordnung vollkommen anschmiegt. Überhaupt eignen sich Parabelstrahlsysteme mit Vorzug zum Studium allgemeiner Strahlsysteme längs eines Systemstrahls bis zur zweiten Differentiationsstufe. Die für diese Arbeit wie auch für die Dissertation des Verf. typische Darstellung reeller Geraden als Schnitt konjugiert-imaginärer isotroper Ebenen gestattet eine Verallgemeinerung auf mehrdimensionale algebraische und differentielle Probleme mit reellen \((n- 2)\)-dimensionalen linearen Raumelementen, aufgefaßt als Schnitt konjugiert imaginärer isotroper Hyperebenen. Dies führt insbesondere für \(n = 4\) auf die Theorie ein- und mehrparametriger reeller Ebenengesamtheiten im euklidischen vierdimensionalen Raum mit Eigenschaften, die den Transformationen einer zwanzigparametrigen Gruppe \(G_{20}\) gegenüber invariant bleiben, wie bei späterer Gelegenheit gezeigt werden soll.