Connections between differential geometry and topology. I: Simply connected surfaces. (Q2613430)

Die vorliegende Arbeit schließt sich an eine Arbeit des Ref. an (\textit{W. Rinow}, Über Zusammenhänge zwischen der Differentialgeometrie im Großen und im Kleinen, Math. Z. 35 (1932), 512-528; F. d. M. 58). Dort ist die Frage aufgeworfen worden, wann ein differentialgeometrisches Element, d. h. ein beliebig kleines analytisches Flächenstück, zu einer vollständigen Fläche fortsetzbar ist. Entscheidend dafür ist das Verhalten der Funktion \(f (r,\vartheta)\), die durch das Linienelement \(ds^2 = dr^2 + f^2(r,\vartheta)\,d\vartheta\) in geodätischen Polarkoordinaten \(r\), \(\vartheta\) gegeben ist. Verf. verschärft zunächst ein Ergebnis des Ref. dahin, daß \(f (r, \vartheta)\) ebenso wie \(K (r, \vartheta)\) (\textit{Gauß}sche Krümmung), wenn das Element zu einer vollständigen Fläche fortsetzbar ist, eine reelle analytische Funktion der \textit{beiden} Veränderlichen \(r\), \(\vartheta\) für alle reellen Werte von \(\vartheta\) und \(r > 0\) ist. Verf. geht nun dazu über, den Ort der zu einem gegebenen Punkte \(P\) konjugierten Punkte näher zu untersuchen. Zu diesem Zweck betrachtet er die Nullstellen von \(f (r,\vartheta)\) in der \((r, \vartheta)\)-Ebene, die man sich etwa darstellen kann als die Tangentialebene der Fläche im Punkte \(P\). Die durch die Polarkoordinaten \(r\), \(\vartheta\) vermittelte Abbildung der \((r,\vartheta)\)-Ebene auf die Fläche erweist sich dann als analytisch, und nur in den Nullstellen von \(f(r,\vartheta)\) hört die Eineindeutigkeit im Kleinen auf, da dort die Funktionaldeterminante der Abbildung verschwindet; das sind aber gerade die zu \(P\) konjugierten Punkte. Das Verhalten der Abbildung an diesen Stellen läßt sich leicht übersehen. Verf. gelangt so zu dem folgenden Ergebnis: Auf einer vollständigen Fläche \(F\) ist der Ort der ersten zu dem Punkte \(P\) bezüglich der von \(P\) ausgehenden geodätischen Strahlen konjugierten Punkte entweder überhaupt nicht vorhanden oder ein einziger Punkt oder eine geschlossene analytische Kurve mit einer geraden Anzahl von Spitzen (gleich viele sind \(P\) zugewandt und abgewandt) oder ein System von offenen unendlich langen analytischen Kurven, die sämtlich eine ungerade Anzahl von Spitzen besitzen \((k\geqq1)\) sind \(P\) zugewandt und \(k - 1\) sind \(P\) abgewandt). Als wichtig für Fragen nach dem Zusammenhang zwischen differentialgeometrischen und topologischen Eigenschaften erweist sich ferner der Ort der ``Minimumpunkte'', den auch schon \textit{Poincaré} unter dem Namen ``liscie de partage'' betrachtet hat (Trans. Amer. Math. Soc. 6 (1905), 237-274; F. d. M. 36, 669 (JFM 36.0669.*)). Ein Punkt \(M\) auf einem geodätischen Strahl \(g\) mit dem Anfangspunkt \(P\) heißt ein Minimumpunkt, wenn \(M\) der letzte Punkt auf \(g\) ist, für den der Bogen \(PM\) von \(g\) die absolut kürzeste Verbindung von \(P\) und \(M\) ist. Verf. geht dabei von einem Satz aus, der unmittelbar aus den Ergebnissen des Ref. (l. c.) folgt: Eine einfach zusammenhängende, vollständige Fläche ist dann und nur dann der Ebene homöomorph, wenn sie einen geodätischen Strahl der Klasse \(A\) enthält. Dabei versteht Verf. unter einem geodätischen Strahl der Klasse \(A\) einen solchen, der für je zwei seiner Punkte die absolut kürzeste Verbindung darstellt. Über geodätische Strahlen der Klasse \(A\) und über Minimumpunkte leitet Verf. nun eine Reihe von Hilfssätzen ab, die schließlich zu dem Hauptergebnis der Arbeit führen: Ist \(F\) eine vollständige Fläche, die der Kugel homöomorph ist, so ist der Ort \(m\) der Minimumpunkte bezüglich eines beliebigen Punktes von \(F\) entweder ein einziger Punkt oder ein Baum mit einer endlichen Anzahl von Zweigen. Ist \(F\) eine vollständige Fläche, die der Ebene homöomorph ist, so ist \(m\) entweder überhaupt nicht vorhanden, oder ein System von Bäumen, von denen jeder einen unendlich langen Zweig enthält. Die Anzahl der Zweige in einem solchen Baum kann unendlich sein, jedoch dürfen sich die Zweige nicht häufen. Schneidet man \(F\) längs \(m\) auf, so erhält man eine zweidimensionale Zelle, die von den geodätischen Linien durch \(A\) einfach überdeckt wird. Der Fall mehrfach zusammenhängender Flächen und der nicht analytische Fall werden im zweiten Teil der Arbeit behandelt (Duke math. Journ. 2 (1936), 95-102; F. d. M. 62). Zur Frage nach der Verallgemeinerung auf mehrdimensionale Räume vgl. das folgende Referat. (V 6 B.)