Vollständige Riemannsche Räume positiver Krümmung. (Q2613433)

Verf. liefert einen Beitrag zur Frage nach den Beziehungen zwischen Metrik und topologischen Eigenschaften eines Raumes: \(R_n\) sei ein vollständiger \textit{Riemann}scher Raum, und das \textit{Riemann}sche Krümmungsmaß des \(R_n\) sei in bezug auf jedes Flächenelement positiv. Dann besitzt \(R_n\) und jeder Überlagerungsraum von \(R_n\) höchstens einen Endpunkt, d. h. es gibt im \(R_n\) nicht zwei Punktfolgen ohne Häufungspunkt, die durch eine kompakte Menge getrennt werden. Für \(n = 2\) ist dieser Satz in einem früheren, etwas schärferen Ergebnis des Verf. enthalten (vgl. die vorangehende Besprechung). Der Beweis geschieht mittels zweier Hilfssätze: (1) Wenn ein vollständiger \textit{Riemann}scher Raum mehr als einen Endpunkt besitzt, so gibt es eine Quasigerade, d. h. eine geodätische Linie, auf der man von jedem Punkte aus nach beiden Seiten hin jede Länge abtragen kann und die die kürzeste Verbindung jedes auf ihr gelegenen Punktepaares enthält. (2) \(F\) sei eine beliebige Fläche \((R_2)\) und \(g\) eine geodätische Linie von \(F\), auf der man von einem ihrer Punkte aus nach beiden Seiten hin jede Länge abtragen kann und auf der die \textit{Gauß}sche Krümmung nirgends negativ, aber an wenigstens einer Stelle positiv ist. Dann ist \(g\) keine Quasigerade. (V 6 B.)