Linear connections of normal space to a variety in euclidean space. (Q2613439)

Sind \(y^a(a,\dots, g =1,\dots, m)\) die Koordinaten einer \(X_m\) in einer \(R_n\) mit definitem Fundamentaltensor und Koordinaten \(x^\varkappa(\varkappa,\dots, \tau = 1,\dots, n)\), so definiert \(B_b^\varkappa=\dfrac{\partial x^\varkappa}{\partial y^b}\) die lokale \(m\)-Richtung. Wird die senkrechte \((n - m)\)-Richtung gegeben durch \(C_q^\varkappa\)\ \((p,\dots, s = n - m,\dots, n)\), so gilt \[ \begin{gathered} \partial_b\,B_a^\varkappa=\varGamma_{ba}^cB_c^\varkappa+ \varGamma_{ba}^rC_r^\varkappa,\\ \partial_b\,C_q^\varkappa=\varGamma_{bq}^cB_c^\varkappa+ \varGamma_{bq}^rC_r^\varkappa.\\ \end{gathered} \] Die Integrabilitätsbedingungen dieser Gleichungen (\textit{Gauß-Codazzi}) werden aufgestellt. Die \(\varGamma_{bq}^r\) definieren eine Übertragung für Vektoren in der lokalen \((n -m)\)-Richtung, und Verf. zeigt, daß die Hauptrichtungen der Tensoren \(\varGamma_{ba}^{(r)}\) zusammenfallen, wenn der zu dieser Übertragung gehörige Krümmungsaffinor \(K_{c}^{\,\cdot}{}_b^{\,\cdot}{}_{q}^{\,\cdot}{}^p\) verschwindet. Für \(n = 4\) entartet in diesem Falle die Indikatrix von \textit{Wilson} und \textit{Moore} in eine Gerade.