Die Differentialgeometrie der Untermannigfaltigkeiten des \(R_n\) konstanter Krümmung. (Q2613440)

Bekanntlich haben \textit{C. Burstin} und Verf. bewiesen, daß eine \(V_m\) in \(S_n\) bis auf Bewegungen und Spiegelungen vollständig festgelegt ist durch ein bestimmtes Affinorensystem der \(V_m\). Die Darstellung in dem bekannten Lehrbuch von \textit{A. Duscheck} und Verf. (Leipzig, 1930; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 580) benutzt Hilfsbeine, die als fremdes Element einen Schönheitsfehler für die Darstellung bedeuten. In der vorliegenden Arbeit wird dieser Schönheitsfehler beseitigt. Der Beweis wird zunächst ``aus didaktischen Gründen'' für \(R_n\) geführt, dann erst für \(S_n\). Man vergleiche dazu die Darstellung bei \textit{J. A. Schouten} und \textit{E. R. van Kampen} (Über die Krümmung einer \(V_m\) in \(V_n\); eine Revision der Krümmungstheorie, Math. Ann. 105 (1931), 144-159; F. d. M. \(57_{\text{I}}\)). In einem besonderen Paragraphen werden Betrachtungen angestellt über die Einbettungszahl einer \(V_m\), über gewisse von \textit{Mayer} eingeführte Krümmungstensoren und über Untermannigfaltigkeiten der \(V_m\). Zum Schluß folgen einige Auseinandersetzungen über die verschiedenen Schmiegräume, ihre Metrik und ihre Parallelverschiebung. Es wird bewiesen, daß die Parallelverschiebung des \(h\)-ten Schmiegraumes dann und nur dann vollständig integrabel ist, wenn der \(h\)-te Krümmungstensor der \(V_m\) verschwindet.