Intégration covariante dans les espaces de Riemann à deux et à trois dimensions. (Q2613527)

Es handelt sich um das Problem: Die kovariante Ableitung eines Tensors ist gegeben; der Tensor selbst ist daraus zu bestimmen. Verf. untersucht zwei Fälle, je nachdem, ob binäre oder ternäre Mannigfaltigkeiten vorliegen. Versteht man unter \(g_{ik}\) und \(\varepsilon_{ik}\) bzw. Fundamental- und \textit{Plücker}schen Tensor und unter \(K\) im binären Gebiet die \textit{Gauß}sche Krümmung, so gilt für den Krümmungstensor die Darstellung \[ R^\lambda_{\,\cdot\,ijk} = K\varepsilon^\lambda_{\,\cdot\,i} \varepsilon_{jk}, \tag{\text{*}} \] und die Integration der Gleichung \[ x_{abc\cdots p|q}=f_{abc\cdots pq} \qquad (\,|\;\text{Zeichen für kovariante Ableitung}) \] führt z. B. mit Hilfe der \textit{Ricci}schen Identität und (*) auf die notwendigen und hinreichenden Bedingungen \[ \begin{aligned} nx_{abc\cdots p}&=\frac1K \varepsilon^\alpha_a\varepsilon^{\xi\eta} x_{\alpha bc\cdots p|\xi\eta} +\left(\varepsilon_{ab}\varepsilon^{\alpha\beta} +g_{ab}g^{\alpha\beta}\right) x_{\alpha\beta c\cdots p}+{} \tag{\text{**}}\\ &{}+\left(\varepsilon_{ac}\varepsilon^{\alpha\gamma} +g_{ac}g^{\alpha\gamma}\right) x_{\alpha b\gamma\cdots p} +\cdots + \left( \varepsilon_{ap}\varepsilon^{\alpha\pi} +g_{ap}g^{\alpha\pi}\right) x_{abc\cdots \pi}. \end{aligned} \] Die Untersuchung der Fälle, wo der unbekannte Tensor von ungerader Stufe ist (insbesondere \(n = 1,\, 3\)), führt auf folgende Ergebnisse: In einem binären metrischen Feld (\(K\neq 0\)) kann jeder kovariante Tensor \(x_{abc\cdots p}\) von ungerader Stufe durch seine zweiten kovarianten Ableitungen vermöge eines Ausdruckes der Art \[ x_{abc \cdots p}=\frac1{nK}T_{abc \cdots p}^{\alpha\beta\gamma\cdots \pi} \varepsilon^{\xi\eta} x_{\alpha\beta\gamma\cdots\pi|\xi\eta} \] dargestellt werden, worin der gemischte Tensor \(T\), aufgebaut aus dem Einheitstensor und dem \textit{Plücker}schen Tensor, nur von der Zahl \(n\) abhängt. In einem solchen Fall existiert dann kein von Null verschiedener Tensor ungerader Stufe, dessen kovariante Ableitung verschwände. Weiterhin gewinnt Verf. die notwendigen und hinreichenden Bedingungen, unter welchen die Gleichung \[ x_{abcd \cdots mp \mid q} =f_{abcd\cdots mpq} \] einen Lösungstensor \(x\) von gerader Stufe \(n\) zuläßt, und eine allgemeine Darstellung einer solchen Lösung. Dabei ergibt sich: Verschwindet in einem binären metrischen Feld (\(K \neq 0\)) die kovariante Ableitung eines kovarianten Tensors von gerader Stufe \(n\), so besteht derselbe notwendig aus einer Produktsumme mit konstanten Koeffizienten, in der jeder Term \(s\) metrische und \(t\) \textit{Plücker}sche Tensoren enthält (\(s \geqq 0\), \(t \geqq 0\), \(2s + 2t = n\)). Nach einigen Verallgemeinerungen der erhaltenen Resultate auf Tensordichten und Anwendungen (insbesondere differentialgeometrischer Natur) behandelt Verf. noch kurz den ternären Fall. Hier spielt der Tensor \[ \varrho_{\sigma\tau}= \tfrac14 \varepsilon_{\,\cdot\;\cdot\,\sigma}^{\alpha\beta} \varepsilon_{\,\cdot\;\cdot\,\tau}^{\gamma\delta} R_{\alpha\beta\gamma\delta} \] eine wichtige Rolle. So ergibt sich analog wie früher: Verschwindet in einem ternären Feld mit nicht ausgeartetem Tensor \(\varrho_{\sigma\tau}\) die kovariante Ableitung eines Tensors von der Stufe \(n\), so besteht derselbe notwendig aus einer Produktsumme mit konstanten Koeffizienten, in der jeder Term \(s\) metrische und \(t\) \textit{Plücker}sche Tensoren enthält (\(s\geqq0\), \(t\geqq 0\), \(2s + 3t = n\)) (vgl. dazu das folgende Referat). (V 6 E.)