Drillungs- und Dehnungsschwingungen umlaufender Scheiben. (Q2613716)

Von den Schwingungen einer achsensymmetrischen Scheibe werden die Drillschwingungen um die Drehachse bei Festigkeitsuntersuchungen besonders studiert. Verf. weist darauf hin, daß diese Drillschwingungen mit Dehnschwingungen radialer Richtung gekoppelt sind, da die Drillung ein Fliehkraftfeld erzeugt, also Dehnschwingungen anregt, und andrerseits die Dehnschwingungen über die \textit{Coriolis}kräfte auf die Drillschwingungen einwirken. Bei ruhender Scheibe kann allerdings die Kopplung beider Schwingungsarten, da sie von zweiter Ordnung ist, vernachlässigt werden. Dann sind die Dehnungsschwingungen ungefährlich. Läuft aber die Scheibe rasch um, so wird die Kopplung von erster Ordnung, und auch die Dehnschwingungen können zu Resonanzgefahr Anlaß geben. Zur Berechnung des gekoppelten Systems entnimmt Verf. der elastischen Verformung der Platte ein System von zwei gekoppelten partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, die die Verschiebungen in radialer und tangentialer Richtung als Funktionen von \(r\) und \(t\) bestimmen. Setzt er dann die beiden Verschiebungen als harmonische Wellen der (zunächst unbekannten) Frequenz \(\alpha\) an (derart, daß die eine gegen die andre um eine Viertelperiode in der Phase verschoben ist), so erhält er für die Amplituden \(\varPsi(r)\) und \(R(r)\) der Drill- bzw. Dehnschwingung zwei gewöhnliche (homogene) lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung, die (in den Unbekannten selbst) gekoppelt sind und deren Beiwerte Funktionen der unabhängigen Veränderlichen \(r\) sind. Ihre Lösungen müssen am Innenrand und Außenrand der Scheibe je zwei homogenen Randbedingungen genügen. Die Lösung dieses Problems würde allerdings mühevoll sein. Daher beschränkt sich Verf. auf die Bestimmung einer asymptotischen Lösung für große \(r\). Es lassen sich nämlich unter der Voraussetzung, die Dicke der Scheibe sei proportional zu \(r^n\), die Differentialgleichungen nach Potenzen von \(\dfrac1r\) anordnen, und für eine asymptotische Lösung können dann die Glieder von höherer als erster Potenz in \(\dfrac1r\) vernachlässigt werden. Verf. bringt aber weiter auch noch das Glied in \(\dfrac1r\) zum Verschwinden, indem er den Exponenten \(n\) in dem Ansatz für die Scheibendicke gleich\({}-3\) wählt, und erhält so schließlich für \(\varPsi\) und \(\dfrac Rr\) ein System zweier linearer Differentialgleichungen mit \textit{konstanten} Koeffizienten. Als ihre allgemeine Lösung erhält man eine Überlagerung zweier harmonischer Wellen in \(r\), deren Perioden aus der Schwingungsfrequenz \(\alpha\) und der Umlaufgeschwindigkeit \(\omega\) der Scheibe zu berechnen sind. Das wird besonders einfach, falls \(\dfrac\omega\alpha\) eine kleine Zahl ist, wie es bei Dampfturbinen der Fall ist. Zur Bestimmung der vier in die Lösung eingehenden Konstanten sowie der Schwingungsfrequenzenz \(\alpha\) dienen die homogenen Randbedingungen am Innen- und Außenrand der Scheibe. Verf. rechnet unter dieser Voraussetzung zunächst den Fall durch, daß die Scheibe am Innenrand starr eingespannt, am Außenrande frei ist, und stellt insbesondere die Gleichung für die Frequenz \(\alpha\) der Schwingung auf. Sie zerfällt, falls \(\alpha\) groß gegen die Umlaufgeschwindigkeit \(\omega\) ist, in zwei Gleichungen, von denen die eine die Frequenzen der Drillschwingungen, die andre die der Dehnschwingungen liefert. Man kann also die Frequenzen der beiden Schwingungsarten getrennt bestimmen, und die Drehung der Scheibe ändert die für die ruhende Scheibe gerechneten Frequenzen der Drillschwingungen nicht wesentlich. Pulsierende Umlaufkräfte könnten aber auch mit den Dehnschwingungen in Resonanz kommen, so daß man auch deren Frequenzen kennen muß. Ihre Berechnung kann ebenfalls für die ruhende Scheibe erfolgen. Führt man die Berechnung dieser Frequenzen für die ruhende Scheibe direkt durch, so gewinnt man zugleich einen Einblick in die Genauigkeit der Freqenzengleichung, auf die die asymptotische Lösung geführt hat. Verf. bestimmt zum Schluß noch die Frequenzen beider Schwingungsarten im Falle allgemeinerer Randbedingungen (am inneren Rande elastische Einspannung, am äußeren Rande Massenbelastung, etwa durch die Turbinenschaufeln).