Le irrazionalità quadratiche nella matematica babilonese. (Q2613930)

\textit{Neugebauer} hat verschiedentlich (zuletzt in ``Vorlesungen über Geschichte der antiken mathematischen Wissenschaften'' (Berlin, 1934; F. d. M. \(60_{\text I}\), 2), S. 33 ff.) die Berechnung der irrationalen Quadratwurzel bei den Babyloniern untersucht. In einem Beispiel eines Berliner Textes wird die Diagonale eines Rechtecks mit den Seiten \(h\) und \(w\) nach den beiden ``Formeln'' \(d = h + \dfrac{w^2}{2h}\) und \(d=h + 2w^2h\) vorgerechnet. \textit{Neugebauer} sieht hier Approximationen für die aus dem pythagoreischen Lehrsatz gewonnene Lösung \(d=\sqrt{h^2+w^2}\). Demgegenüber glaubt Verf., daß die Babylonier die ``Formel'' aus Messungsversuchen kombiniert hätten. Bezüglich der zweiten Formel, die an sich fehlerhaft ist, und die \textit{Neugebauer} mit einer harmonischen Mittelwertbildung in Beziehung bringt, ist sicher Vorsicht geboten. Dagegen kann nach Ansicht des Ref. kein Zweifel darüber bestehen, daß die erste Formel den auch sonst in der babylonischen Mathematik bezeugten pythagoreischen Lehrsatz verwendet und daß dabei dieselbe Näherung für die Quadratwurzel vorliegt, wie sie aus der griechischen Mathematik bekannt ist, nämlich \(\sqrt N=\sqrt{a^2+r}=a+\dfrac r{2a}=\dfrac12\cdot\left(a+\dfrac Na\right)\). Die Behauptung des Verf., die Babylonier hätten die dabei notwendigen Bruchrechnungen nicht ausführen können, ist nicht haltbar. Sicher konnten sie den arithmetischen Mittelwert \(\dfrac12\cdot\left(a+\dfrac{a^2+r}{a}\right)\) in die ``Formel'' \(a+\dfrac r{2a}\) überführen, natürlich nicht mit allgemeinen Zahlbuchstaben, sondern mit speziellen Zahlenwerten, was damals eben die Formel ersetzen mußte. Die Rechnung könnte \textit{auf Babylonisch} so ausgesehen haben: \[ \begin{gathered} \left(h+\dfrac{h^2+w^2}h\right)\cdot\dfrac12= [0; 40+(0;26{,}40+0;1{,}40):0;40]\cdot 0; 30\\ =[0;40+0;26\cdot 1;30+0;1{,}40\cdot1;30]\cdot0;30\\ =[0;40+0;40+0; 1{,}40\cdot 1; 30]\cdot 0; 30=0;40+0;1, 40\cdot 1;30\cdot 0;30, \end{gathered} \] Das ist gerade die Formel \(h + w^2 : h : 2\), die im Text tatsächlich vorgerechnet wird. Es ist \textit{Bortolotti} entgangen, daß noch weitere Beispiele überliefert sind, nämlich \(\sqrt 2\) und \(\sqrt{0; 30}\), deren Lösungen sich ebenfalls mit der genannten Formel decken.