Ein Gültigkeitskriterium für die Sätze der klassischen Mathematik. (Q2614099)

Verf. stellt sich die Aufgabe, ein formales Gültigkeitskriterium für die Mathematik aufzustellen, d. h. notwendige und hinreichende Bedingungen dafür anzugeben, daß ein Satz im Sinne der klassischen Mathematik gültig ist. Hierfür ist zunächst die Aufstellung eines Sprachsystems, d. h. eines Systems von Zeichen mit bestimmten Verwendungsregeln, erforderlich, in dem die klassische Mathematik formuliert werden kann. In bezug auf dieses Sprachsystem, auch Objektsprache genannt, soll dann das Gültigkeitskriterium in formaler Weise, d. h. ohne Bezugnahme auf die Bedeutung der Zeichen, angegeben werden. Ein definites Gültigkeitskriterium dieser Art, das einem Entscheidungsverfahren für die ganze Mathematik gleichkommen würde, existiert bekanntlich nicht. Auch kann nicht die Ableitbarkeit aus einem bestimmten Axiomensystem als ein derartiges Kriterium dienen, da jedes derartige Axiomensystem, wie \textit{Godel} gezeigt hat, notwendig unvollständig ist. Verf. denkt sich nun neben der Objektsprache (Sprache der Mathematik) eine Syntaxsprache (metamathematische Sprache, aber ohne finite Einschränkungen) eingeführt, die auf die Bedeutung der Zeichen der Objektsprache keine Rücksicht nimmt, sondern es nur mit den formalen Eigenschaften der Objektsprache zu tun hat. Durch gewisse Bewertungsregeln wird nun jedem Satz der Objektsprache ein bestimmter Satz der Syntaxsprache (oder eine endliche oder unendliche Klasse derartiger Sätze) zugeordnet, dessen Gültigkeit das Kriterium für die Gültigkeit des ersten Satzes darstellt. Hat so die eingangs gestellte Frage eine Antwort gefunden, so ist doch nicht einzusehen, was eigentlich damit erreicht ist. Denn die Gültigkeit der Sätze der Syntaxsprache ist genau so problematisch wie die Gültigkeit der Sätze der Objektsprache. Auch eine Stufenfolge von Sprachen, von denen jede die Syntaxsprache der ihr in der Folge unmittelbar vorangehenden ist, kann nichts nützen.