Über die Axiomatisierbarkeit des Aussagenkalküls. (Q2614107)

Verf. gibt zuerst eine kurze Darstellung der wichtigsten Tatsachen des Aussagenkalküls. Unter Identitäten werden Formehl verstanden, die bei jeder Einsetzung der Werte ``wahr'' und ``falsch'' für die Variablen den Wert ``wahr'' annehmen. Aus Identitäten entstehen wieder solche durch Einsetzung und durch Abtrennung, d. h. Übergang von \(\mathfrak{A}\) und \(\mathfrak{A} \to \mathfrak{B}\) zu \(\mathfrak{B}\). Verf. fragt nun, ob es eine endliche Anzahl von Identitäten gibt, aus denen alle mittels Einsetzung und Abtrennung ableitbar sind. Das ist die Frage der Axiomatisierbarkeit. Er stellt ein System von sechzehn Formeln auf, konstatiert, daß sie Identitäten sind, und beweist, daß daraus alle Identitäten ableitbar sind. Das gelingt dadurch, daß er zuerst den Begriff ``Ableitbarkeit aus gegebenen Prämissen'' definiert und diesbezüglich drei Hilfssätze beweist. Der wichtige dritte Hilfssatz wird zuerst für eine einzige Variable bewiesen, dann für die Negation einer Formel und dann für die Implikation, Konjunktion, Disjunktion und Äquivalenz zweier Formeln unter der Annahme, daß er schon für diese als richtig erkannt ist; dann gilt der Hilfssatz für alle Formeln. Weiter betrachtet Verf. ein engeres System von Formeln, nämlich die allein durch Negation und Implikation aufgebauten. Er beweist, daß aus einem einfachen Axiomensystem von \textit{Lukasiewicz} alle Axiome seines eigenen Systems abgeleitet werden können, die zu dem engeren Formelsystem gehören. Daraus folgt die Ableitbarkeit jeder Identität des engeren Systems aus den drei Axiomen von \textit{Lukasiewicz}. Zum Schluß bemerkt Verf., daß die hier dargelegte Methode des Axiomatisierbarkeitsbeweises auch sonst anwendbar ist; z. B. kann man damit auch die Axiomatisierbarkeit des mehrwertigen Aussagenkalküls beweisen.