Une propriété du nombre \(\aleph_2\) et l'hypothèse du continu. (Q2614129)

Eine Kardinalzahl \(\mathfrak{m}\) besitze die Eigenschaft \(P\), wenn für irgendeine Menge \(M\) von der Mächtigkeit \(\mathfrak{m}\) eine unendliche Folge \(E_1, \, E_2, \ldots\) von Teilmengen von \(M\) existiert, derart daß zwei beliebige Elemente \(p\) und \(q\) von \(M\) stets durch zwei Mengen dieser Folge getrennt werden können (d. h. daß zwei fremde Mengen dieser Folge existieren, von denen die eine \(p\), die andere \(q\) enthält). Verf. beweist nun: Mit der Kontinuumhypothese ist die Aussage gleichwertig, daß \(\aleph_2\) nicht die Eigenschaft \(P\) besitzt. -- Die Behauptung ist eine unmittelbare Folge des Lemmas: Dafür, daß \(\mathfrak{m}\) die Eigenschaft \(P\) besitzt, ist notwendig und hinreichend, daß \(\mathfrak{m} \leqq 2^{\aleph_0}\) ist.