The sums of powers of integers. (Q2614141)

Wird \(S_p(n)=1^p + 2^p + \cdots + n^p\) gesetzt, so ist \[ S_{2p-1}(n)=\sum_{k=2}^{p} A_{pk} m^k,\; S_{2p}(n)=(2n+1)\sum_{k=1}^{p} B_{pk} m^k. \] Hierbei bedeutet \(m\) die Summe \(S_1(n)=\frac{1}{2}n(n + 1)\). Verf. hebt hervor, daß er bei seinen Entwicklungen sich nicht auf die \textit{Bernoulli}schen Zahlen stützt, sondern nur den binomischen Satz verwendet. Begreiflicherweise sind aber die Koeffizienten \(A\) und \(B\), die in den Polynomen der beiden Formeln auftreten, nur durch Rekursionsformeln oder durch Determinanten zu bestimmen. Solche Formeln werden angegeben. Eine zweite Formelgruppe liefert \(S_p(n)\) als Polynome von \(n + \frac{1}{2}\). Für beide Formelgruppen werden die Formeln bis \(S_{10}(n)\) numerisch angegeben. Eine dritte Formelgruppe bezieht sich auf die Potenzsummen der ungeraden Zahlen allein.