Beiträge zur mathematischen Theorie der Diracschen Matrizen. (Q2614191)

Aus den \textit{Dirac}schen Matrizen, welche die Relationen \[ \tfrac 12 (\gamma_\mu\gamma_\nu + \gamma_\nu\gamma_\mu) =\delta_{\mu\nu} \cdot 1 \] erfüllen, läßt sich das hyperkomplexe Zahlsystem \[ 1, \;\gamma^\mu, \;\gamma^{[\mu\nu]}, \;\gamma^{[\lambda\mu\nu]}, \;\gamma^5 \] aufbauen, wo die \(\gamma^{[\mu\nu]}\) usw. Produkte aus je zwei, drei, bzw. vier verschiedenen \(\gamma^\mu\) sind. Insgesamt sind es also 16 Basiselemente. Es gilt nun folgender Satz: Sind \(\gamma^\mu\) und \(\gamma^{\mu'}\) zwei vierreihige Matrixsysteme, welche beide dieselben obigen Relationen erfüllen, so gibt es stets eine Matrix \(S\) (mit nicht verschwindender Determinante), so daß \[ \gamma^{\mu'} = S\gamma^\mu S^{-1}. \] Zum Beweis wird eine Methode von \textit{I. Schur} (Sitzungsber. Akad. Berlin 1905, 406-432; F. d. M. 36, 194 (JFM 36.0194.*)) benutzt. -- Weiterhin werden einige Relationen der folgenden und ähnlicher Formen bewiesen: \[ - \sum_{\mu=0}^4 (\psi^+ \gamma^\mu \psi)^2 = - (\psi^+ \psi)^2 + (\psi^+ \gamma^5 \psi)^2 \] (\(\psi^+ \equiv i \psi^* \gamma^4\); \(\psi^* =\) konjugiert komplex zu \(\psi\); \(\psi =\) Matrix mit einer Spalte, vier Zeilen). (III 5 B, VI 5.)