Über einige Sätze der Gruppentheorie. (Q2614262)

Es sei \(\mathfrak K\) die Kommutatorgruppe der Untergruppe \(\mathfrak H\) einer endlichen Gruppe \(\mathfrak G\); ferner sei \[ \mathfrak H = \mathfrak K + \mathfrak K B_2 + \cdots + \mathfrak K B_m \tag{1} \] die Zerlegung von \(\mathfrak H\) nach \(\mathfrak K\) und \[ \mathfrak G = \mathfrak H + \mathfrak H T_2 + \cdots + \mathfrak H T_k \tag{2} \] die Zerlegung von \(\mathfrak G\) nach \(\mathfrak H\). Die Symbole \(\mathfrak KT_i\) (\(i = 1,\ldots, k\); \(T_1 = E\)) gehen bei rechtsseitiger Multiplikation mit einem Element \(G \subset \mathfrak G\) nach (1) und (2) in \(B_\alpha \mathfrak K\cdot \mathfrak K T_j\) über. Man erhält also eine ``monomiale Substitution'' mit den rechtsseitigen Faktoren \(B_\alpha \mathfrak K\). Das Produkt sämtlicher in einer Substitution vorkommenden Faktoren hat wieder die Form \(B_\beta \mathfrak K\). Ordnet man jedem Element \(G\) die Determinante der zugeordneten monomialen Substitution \((G)\) zu, so ist also die Gruppe \(\mathfrak G\) auf die \textit{Abel}sche Faktorgruppe \(\mathfrak H/\mathfrak K\) abgebildet. Kann man für ein Element \(A \subset \mathfrak G\) nachweisen, daß es nicht auf die Identität abgebildet wird, so ist die Gruppe nicht einfach. Um die Zerlegung von \((A)\) in Zyklen leicht zu übersehen, schreibe man (2) in der Form (\(A\) liegt im folgenden in \(\mathfrak H\)) \[ \begin{gathered} \mathfrak G=\mathfrak H + \mathfrak H D_2 + \mathfrak H D_2 + \mathfrak H D_2A + \cdots + \mathfrak H D_2 A^{a_2-1} \\ + \mathfrak H D_3 + \mathfrak H D_3 A + \cdots + \mathfrak H D_3 A^{a_3-1} + \cdots + \mathfrak H D_s + \mathfrak H D_s A + \cdots + \mathfrak H D_s^{a_s-1}. \end{gathered} \] Die Determinante von \((A)\) ist dann \(AD_2A^{a_2}D_2^{-1}D_3 A^{a_3}D_3^{-1} \cdots D_s A^{a_s} D_s^{-1}\mathfrak K\). Nun können die folgenden Sätze bewiesen werden: I. Gibt es außerhalb von \(\mathfrak K\) in \(\mathfrak H\) ein Element \(A\), dessen Ordnung zu \(k\) prim ist, so daß für jedes \(\lambda\) die zu \(A^\lambda\) innerhalb \(\mathfrak G\) konjugierten Elemente von \(\mathfrak H\) in \(\mathfrak K A^\lambda\) enthalten sind, so kann \(\mathfrak G\) nicht einfach sein. II. Gibt es außerhalb von \(\mathfrak K\) in \(\mathfrak H\) ein Element \(A\) von Primzahlpotenzordnung \(p^\omega((p,k) = 1)\), so daß jedes mit \(A\) innerhalb von \(\mathfrak K\) konjugierte Element von \(\mathfrak H\) in \(\mathfrak K A\) liegt, und daß für kein \(\lambda\) das Element \(A^\lambda\) in \(\mathfrak K\) ist, so kann \(\mathfrak G\) nicht einfach sein. In der Voranzeige dieser Arbeit (C. E. Acad. Sc. URSS 1935, No. 3, 9--10; JFM 61.0095.02) ist der Satz durch einen Druckfehler entstellt und daher von der Ref. mißverstanden worden. Es handelt sich anscheinend um Theorem I und nicht um den von der Ref. vermuteten Satz. Ferner ist die Behauptung der Ref., ``daß die Zyklen von Primzahlpotenzordnung keinen Faktor erhalten'' falsch.