Über einfache Gruppen. (Q2614263)

Es sei \(p\) die kleinste Primzahl, die in der Ordnung einer einfachen Gruppe \(\mathfrak G\) aufgeht. Dann enthält das Zentrum \(\mathfrak Z\) der \textit{Sylow}gruppe \(\mathfrak P\) der Ordnung \(p^\alpha\) nur Elemente, deren Ordnung \(\sqrt {p^\alpha}\) nicht übertrifft. Denn es sei \(A\) ein Element von \(\mathfrak Z\) mit der Ordnung \(p^m > \sqrt {p^\alpha}\); dann bilde man die verallgemeinerte monomiale Darstellung (s. auch für die Bezeichnungen das vorletzte Referat), die \(G\) auf die zyklische Gruppe \(\{A\}\) abbildet. (N. B: Der Beweis kann hier genau so mit einer gewöhnlichen monomialen Darstellung mit Hilfe von \(\{A\}\) geführt werden.) Die ``Determinante'' von \((A)\) ist \[ |A| = AD_2A^{a_2}D_2^{-1} \ldots D_sA^{a_s}D_s^{-1} \mathfrak K. \] Nach einem Hilfssatz ist stets \(D_\nu A^x D_\nu^{-1} = A^x\), also \(|A| = A^k \mathfrak K\), und da \(k\) nicht durch \(p^m\) teilbar sein kann, \(|A| \neq \mathfrak K\); also kann die Gruppe nicht einfach sein im Widerspruch zur Voraussetzung.