Der arithmetische Begriff der Kristallklasse und die darauf fußende Ableitung der Raumgruppen. (Q2614285)

In der geometrischen Kristallographie heißen zwei Kristallklassen (\(g\)-Klassen) äquivalent, wenn sie durch eine beliebige lineare homogene Transformation auseinander hervorgehen. Die arithmetische Theorie der Kristallklassen (\textit{Bieberbach}, \textit{Frobenius}, \textit{Burckhardt}) definiert alle diejenigen als äquivalent, die aus einer gegebenen durch unimodulare ganzzahlige Transformation hervorgehen (\(a\)-Klassen). Die Frage ist, wie sich der \(a\)-Klassenbegriff geometrisch interpretieren läßt, und wieviele \(a\)-Klassen es im \(R^3\) gibt. -- In der Ebene existieren 13 \(a\)-Klassen, welche die 17 ebenen Bewegungsgruppen liefern, im Gegensatz zu nur 10 \(g\)-Klassen. Im Raum gibt es 5 rhomboedrische und 16 hexagonale \(a\)-Klassen, entsprechend nur insgesamt 12 \(g\)-Klassen. Es zeigt sich nun, daß der arithmetischen Inäquivalenz der zu einer \(g\)-Klasse gehörigen \(a\)-Klassen die Verschiedenheit der Stellung derselben Symmetrieelemente dieser \(g\)-Klasse gegenüber einem Koordinatensystem entspricht, dessen Achsen die Richtungen und Größe eines primitiven Translationentripels haben und die mit Spiegelebenen oder Drehachsen zusammenfallen oder deren Zwischenwinkel halbieren. Die Durchführung ergibt damit im \(R^3\) 73 \(a\)-\textit{Klassen}, die, je mit einer passenden Translationsgruppe vereinigt, die 73 symmorphen Raumgruppen erzeugen, die seit \textit{Fedoroff} schon aus der geometrischen Kristallographie bekannt sind. Unter Berücksichtigung von Schraubenachsen und Gleitspiegelebenen ergeben sich die übrigen \(146 (+ 11)\), zusammen \(219 (+ 11)\) Raumgruppen. -- Jede \(g\)-Klasse ist Untergruppe entweder der kubisch \((O_h)\) oder der hexagonal holoedrischen \((D_{6h})\) \(g\)-Klasse. Berücksichtigt man unter Vernachlässigung der Translationsgruppe die Stellung der Symmetrieelemente einer \(g\)-Klasse einer kubischen (Würfel) bzw. hexagonalen Metrik (hexagonales Prisma) gegenüber, so erhält man 57 sogenannte \(dg\)-Klassen, bei Berücksichtigung der Translationsgruppe wieder die 73 \(a\)-Klassen, die jetzt \(da\)-Klassen genannt seien. Diese \(dg\)- wie die \(da\)-Klassen spielen in der Kristallmorphologie eine ausschlaggebende Rolle, was am Beispiel der Glimmergruppe, der Olivin- und der Feldspatstruktur gezeigt wird. (V 5 A.)