On a certain kind of operations connected with linear algebra. (Q2614337)

Verf. betrachtet die Gruppe \(G\) der den Grundkörper elementweise festlassenden 1-Automorphismen \(\varGamma\) einer linearen Algebra \(\mathfrak U\). Die Matrizen \(A\) der durch die \(\varGamma\) bewirkten Transformationen einer festen Basis bilden eine Darstellung von \(G\). Es wird gezeigt, unter welchen Bedingungen \(A\) einem Automorphismus einer Algebra \(\mathfrak U\) mit vorgegebenen Eigenschaften entspricht. Um umgekehrt aus der Beschaffenheit der \(A\) Aussagen über \(\mathfrak U\) zu gewinnen, bringt man \(A\) unter Verwendung der charakteristischen Wurzeln \(\varepsilon_i\) auf die klassische kanonische Form. So ergibt sich unter anderem die Existenz von Nullteilern, wenn nicht (für alle \(A\)) \(\varepsilon_i\varepsilon_k\) stets wieder eine charakteristische Wurzel von \(A\) ist. Im zweiten Teil legt Verf. seinen Untersuchungen eine Maximalordnung \(S\) einer rationalen halbeinfachen Algebra vom Rang \(n\) mit Einselement zugrunde. Die Darstellung der Automorphismengruppe \(G\) von \(S\) im obigen Sinn besteht in diesem Fall aus unimodularen Matrizen. Die Gesamtheit der Elemente aus \(G\), die einen \(n\)-gliedrigen Modul \(M\) aus \(S\) (Linearformenmodul mit ganzen rationalen Koeffizienten) invariant lassen, wird als ``Zerlegungsgruppe'' \(G_z\) von \(M\) bezeichnet. Diejenige Untergruppe \(G_t\) von \(G_z\), die den (endlichen) Restklassenmodul \(S/M\) elementweise invariant läßt, heißt die ``Trägheitsgruppe'' von \(M\). \(G_t\) erweist sich als Normalteiler von \(G_z\). Die Beziehungen dieser Gruppen zur Gruppe aller unimodularen Substitutionen werden genauer betrachtet und zum Schluß Anwendungen auf die Idealtheorie in \(S\) angedeutet.