Prime numbers and probability. (Q2614382)

\(U_1, U_2, U_3,\ldots\) sei eine Folge von Urnen mit weißen und schwarzen Kugeln; die Wahrscheinlichkeit, aus der \(n\)-ten Urne eine weiße Kugel zu ziehen, betrage \(\dfrac1{\log n}\) (für \(n\geqq2\); für \(n = 1\) sei sie beliebig). Wählt man nun nacheinander aus \(U_1, U_2, U_3,\ldots\) je eine Kugel, und nennt man die Nummer der Urne, aus der die \(\nu\)-te weiße Kugel gezogen wurde, \(P_\nu\), so erhält man eine Folge \(P_1,P_2,P_3,\ldots\), welche in gewisser Weise der Folge der Primzahlen \(p_1, p_2, p_3,\ldots\) ähnlich ist. Aus der Wahrscheinhchkeitslehre kann man nun für die Folge \(P_1,P_2,P_3,\ldots\) gewisse Eigenschaften herleiten, welche zwar nicht für alle, aber doch -- in einem bestimmten mathematischen Sinn -- für ``fast alle'' Folgen (oder mit der Wahrscheinlichkeit 1) gültig sind; diese heuristische Methode liefert für die Folge der Primzahlen ein gewisses Bild, wie etwa eine gegebene Fragestellung zu beantworten sein wird. Z. B. kann man zeigen, daß der Mittelwert, oder die mathematische Erwartung, für die Anzahl \(\varPi(x)\) der \(P_\nu\leqq x\) dem Li(\(x\)) äquivalent ist, ja genauer, daß gilt: Mit einer Wahrscheinlichkeit 1 ist: \[ \limsup_{x\to\infty} \dfrac{|\varPi(x)-\operatorname{Li}(x)|} {\sqrt{x}\sqrt{\dfrac{\log\log x}{\log x}}} = \sqrt2. \tag{1} \] in der Tat fällt dies Resultat in ``vernünftige'' Grenzen; denn \textit{v. Koch} bewies unter Annahme der \textit{Riemann}schen Vermutung \[ \limsup_{x\to\infty} \dfrac{|\pi(x)-\operatorname{Li}(x)|} {\sqrt{x}\log x} < \infty \tag{2} \] und \textit{Littlewood} \[ \limsup_{x\to\infty} \dfrac{|\pi(x)-\operatorname{Li}(x)|} {\sqrt{x}\dfrac1{\log x}} = \infty. \tag{3} \] Ähnlich gilt, mit einer Wahrscheinlichkeit 1: \[ \limsup_{n\to\infty} \dfrac{P_{n+1}-P_n} {(\log P_n)^2} = 1. \tag{4} \] Hier bewies Verf. unter Annahme der \textit{Riemann}schen Vermutung \[ \limsup_{n\to\infty} \dfrac{p_{n+1}-p_n} {\sqrt{p_n}\log p_n} < \infty \tag{5} \] und \textit{Westzynthius} \[ \limsup_{n\to\infty} \dfrac{p_{n+1}-p_n} {\log p_n} = \infty. \tag{6} \] Verf. gibt noch ein weiteres für die Vernünftigkeit von (4) sprechendes Resultat; er beweist unter Annahme der \textit{Riemann}schen Vermutung, daß die Summe der Intervalle \(p_{n+1} - p_n\) unterhalb \(x\), für welche \(p_{n+1}-p_n>(\log p_n)^3\) ausfällt, ein \(o(x)\) ist. -Ausführliche Beweise bleiben einer weiteren Mitteilung vorbehalten. (IV 16.)