Sopra una proprietà dei numeri interi. (Q2614393)

\textit{Padoa} hat (Periodico di Mat. (4) 13 (1933), 292-295; JFM 59.0938.*) mittels der Darstellung der ganzen Zahlen als Summe von vier Quadraten gezeigt, daß sich jede ganze Zahl als Quotient zweier Zahlen, die beide Summen von drei positiven Quadraten sind, darstellen läßt. Verf. weist darauf hin, daß dies leichter aus dem tiefer gelegenen \textit{Gauß}schen Satz über die Darstellung der ganzen Zahlen, die nicht von der Form \(8n + 7\) oder \(4^h(8n + 7)\) sind, als Summe von drei Quadraten folgt. Hieraus folgt nämlich, daß für jedes \(N\) sicher \(3N\) oder \(6N\) eine Summe von drei Quadraten ist. Verf. übersieht aber, daß hiermit der Satz von \textit{Padoa} noch nicht ganz bewiesen ist. Denn aus dem \textit{Gauß}schen Satz folgt nicht, daß die drei Quadrate sämtlich positiv sind; im Gegenteil, dies ist allgemein nicht richtig, z. B. nicht für die Zahlen \(1, 2, 4, 5, 8, 10, 13, 16, \ldots\). Man kann aber trotzdem zeigen, daß \(3N\) oder \(6N\) für jedes ganzzahlige \(N\) als Summe von drei positiven Quadraten darstellbar ist, indem man folgendermaßen schließt: Mindestens eine der Zahlen \(3N\) oder \(6N\) ist eine Summe von drei Quadraten. Ist \(N\not\equiv0\) (mod 3), so kann \(3N\) und \(6N\) nicht Quadratzahl oder Summe zweier Quadrate sein. Ist aber \(N\equiv0\) (mod 3), also \(3N\equiv 6N\equiv0\) (mod 9), so ergibt sich die Behauptung aus dem folgenden Satz von \textit{Pall} (Amer. math. Monthly 40 (1933), 10-18; JFM 59.0938.*): Außer den Zahlen der Form \(4^h\cdot 25\) ist jede ganze Zahl, die als Summe von drei Quadraten darstellbar ist und durch das Quadrat einer ungeraden Primzahl teilbar ist, auch als Summe von drei positiven Quadraten darstellbar. Ferner zeigt Verf., daß die Zahlen der Form \(8n\) als Summe von fünf positiven Quadraten darstellbar sind, von denen eins die Einheit ist.