On a resultant connected with Fermat's last theorem. (Q2614410)

\textit{Bachmann} stellte in seinem Buch ``Das Fermatproblem'' (Berlin, 1919; F. d. M. 47, 105) S. 59 als notwendige Bedingung für die Lösbarkeit von \(x^p + y^p + z^p = 0\) mit zu \(p\) primem \(xyz\) auf, daß die Resultante \(\varDelta _{p-1}\) von \(x^{p-1} = 1\) und \((x + 1)^{p-1} = 1\) durch \(p^3\) teilbar sein muß. Nachdem \textit{Lubelski} (vgl. vorstehendes Referat) gezeigt hat, daß für \(p > 7\) stets \(p^8|\varDelta _{p-1}\) gilt, zeigt Verf., daß \(\varDelta_{p-1}\) sogar durch \(p^{p-2}\), genauer durch \(p^{p-3}\cdot (z^p-1)\), teilbar ist und nach dem \textit{Wieferich}schen Kriterium dann \(p^{p-1}|\varDelta _{p-1}\) als notwendige Bedingung für die Lösbarkeit der \textit{Fermat}gleichung mit \(xyz \not\equiv 0 (p)\) angesetzt werden darf. Eine \(\varDelta _{p-1}\)-Tabelle wird bis \(p = 19\) aufgestellt. Allgemein gilt \(\varDelta_d|\varDelta_n\) für \(d|n\); insbesondere \(\varDelta_{6k}= 0\).