The number of representations of a large number as a sum of \(n\) non-negative \(n^{\text{th}}\) powers. (Q2614430)

Die Arbeit kann als ein Beitrag zur Diskussion der ``Hypothese \(K\)'' von \textit{Hardy} und \textit{Littlewood}, die bekanntlich behauptet, daß \[ r_{n, n} (N) = O (N^\varepsilon)\quad \text{für jedes}\quad \varepsilon > 0 \] ist, angesehen werden; \(r_{s, n}(N)\) bedeutet hier die Anzahl der Darstellungen von \(N\) als Summe von \(s\) positiven \(n\)-ten Potenzen. (Die Hypothese \(K\) ist inzwischen von \textit{Mahler} für \(n = 3\) widerlegt worden, Journ. London math. Soc. 11 (1936), 136-138; JFM 62.0146.*.) Verf. beweist nur, daß jedenfalls für festes \(n\) \textit{nicht} \[ r_{n,n} (N) = O(1) \] sein kann. Die Hilfsmittel des Beweises sind Lemmata, die \textit{Hardy} und \textit{Littlewood} für die Untersuchung der singular series des \textit{Waring}schen Problems entwickelt haben.