On an easier Waring-Kamke problem. (Q2614443)

Verf. betrachtet das folgende ``einfachere'' Waring-Kamkesche Problem (vgl. \textit{E. Kamke} [Diss. Göttingen; Math. Ann. 83, 85--112 (1921; JFM 48.0142.06)]): \(f(x)\) sei ein ganzwertiges Polynom; die Aufgabe ist die Bestimmung der Zahl \(v(f(x))\), des kleinsten Wertes von \(s+ |c|\) derart, daß jede (positive oder negative) Zahl \(n\) sich in der Form \[ n =\xi_1 f(m_1) + \xi_2 f (m_2) +\cdots+\xi_sf(m_s) + c \] darstellen läßt, wo die \(m_i\) und \(c\) ganz, die \(\xi_i=\pm1\) sind. Für Warings Fall \(f(x)=x^k\) wurde das Problem von \textit{V. Veselý} [Časopis 62, 123--127 (1933; JFM 59.0951.01)] eingeführt. \textit{E. M. Wright} bewies [J. Lond. Math. Soc. 9, 267--272 (1934; JFM 60.0141.03)] \[ v(x^k) \leqq 2^{k-1} + \tfrac12k!. \] Verf. beweist zunächst eine Verallgemeinerung dieses Resultats. Es ist nämlich \[ v(f(x))\leqq 2^{k-1} + \dfrac{a}{2} k!, \] wo \(k\) der Grad und \(a\) der Koeffizient des höchsten Gliedes des ganzwertigen Polynoms \(f(x)\) ist. Dies folgt einfach daraus, daß die \((k-1)\)-te Differenz von \(f(x)\): \[ \sum_{r=0}^{k-1}(-1)^r\binom{k-1}{r}f(x+r) \] sämtliche Zahlen einer arithmetischen Progression der Differenz \(a\cdot k!\) darstellt, wenn man \(x\) die ganzen Zahlen durchlaufen läßt. Insbesondere ist für Binomialkoeffizienten \[ v\biggl(\binom{x}{k}\biggr)\leq 2^{k-1}. \] Genauer gilt offenbar \[ v(f(x))\leqq 2^{k-1} +\varDelta (f(x),a\cdot k!), \] wo \(\varDelta (f(x), m)\) den kleinsten Wert von \(s + |c|\) darstellt, derart daß die Kongruenz \[ n\equiv \xi_1f(m_1) +\cdots + \xi_sf(m_s) +c\pmod m \] für alle \(n\) lösbar ist. Stellt man / in der Form \[ f=a_0\binom{x}{k}+a_1\binom{x}{k-1}+\cdots+a_k \] dar, so folgt aus dem letzten Resultat insbesondere \[ v(f(x)) \leq 2(2^{k-1} - 1) + (a_{k-1}, a_{k-2}), \] wo \((a_{k-1}, a_{k-2})\) den größten gemeinsamen Teiler von \(a_{k-1}, a_{k-2}\) bedeutet. In welchem Sinne oder mit welchem Recht Verf. dies Resultat auch als \(v(f(x)) = O(2^{k-1})\) formuliert, ist unklar.