Über Gitterpunkte in convexen Körpern und ein damit zusammenhängendes Extremalproblem. (Q2614457)

Bekanntlich ist im \(n\)-dimensionalen Raum für jeden zum Nullpunkt symmetrischen konvexen Körper \(\mathfrak K\), der keinen vom Nullpunkt verschiedenen Gitterpunkt enthält, das Volumen \(V\) höchstens gleich \(2^n\), und diese obere Schranke für \(V\) läßt bei beliebigen Körpern \(\mathfrak K\) keine Verschärfung zu. Betrachtet man aber nur eine Teilmenge aller Körper \(\mathfrak K\), etwa die Ellipsoide, so ergibt sich die Aufgabe, in dieser Teilmenge eine möglichst günstige obere Schranke für \(V\) zu finden. Mittels der Vollständigkeitsrelation der \(n\)-fachen \textit{Fourier}-Reihen beweist Verf. zunächst für beliebige Körper \(\mathfrak K\) der angegebenen Art die Beziehung \[ 2^n=V+V^{-1} \sum_{\mathfrak l\neq 0} \biggl|\int\limits_{\mathfrak K} e^{\pi i \mathfrak l \mathfrak x}d\mathfrak x\biggr|^2, \] wo \(\mathfrak l = (l_1, \ldots, l_n)\) alle vom Nullpunkt verschiedenen Gitterpunkte durchläuft und zur Abkürzung \(dx_1\cdots - dx_n = d\mathfrak x\) und \(l_1x_1 + \cdots + l_n x_n =\mathfrak l\mathfrak x\) gesetzt ist. Der zu dieser Beziehung führende Ansatz läßt sich dann bei speziellen Typen von Körpern \(\mathfrak K\) zur Verbesserung der oberen Schranke für \(V\) verwenden. Insbesondere erhält man für Ellipsoide die obere Schranke \(\biggl(\dfrac{4\sqrt 2}{3}\biggr)^n\) bei hinreichend großem \(n\). Allerdings wurde bereits auf anderem Wege durch \textit{Blichfeldt} die günstigere Schranke \(2^{\tfrac{n}{2}}\biggl(\dfrac{n}{2}+1\biggr)\) gefunden. Eine Verallgemeinerung des besprochenen Ansatzes führt auf folgendes Variationsproblem: Man bestimme die größte Zahl \(\tau\) derart, daß für jede in der Form \[ f(\mathfrak h) = \int\limits_{\mathfrak K} \varphi (\mathfrak x)e^{2\pi i \mathfrak x\mathfrak h} \mathfrak x \] darstellbare ganze Funktion \(f(\mathfrak h)\), die für reelles \(\mathfrak h = (y_1,\ldots, y_n)\) reell und im Nullpunkt \(= 1\) ist, das Erfülltsein der Ungleichung \[ \int\limits_{-\infty}^\infty \cdots \int\limits _{-\infty}^\infty f(\mathfrak h)d\mathfrak h<\tau \] die Existenz einer reellen Nullstelle von \(f(\mathfrak h)\) bedingt. In anderer Formulierung: Für die Menge aller in obiger Form darstellbaren Funktionen \(f(\mathfrak h)\), die für reelle \(\mathfrak h\) positiv und im Nullpunkt \(= 1\) sind, ermittle man die untere Schranke \(\tau\) des obigen Integrales. Verf. beweist, daß \(\tau\) für Ellipsoide den Wert \(\dfrac{2^n}{V}\) besitzt. Dieses Resultat enthält den folgenden funktionentheoretischen Satz: Es sei \(f(z)\) eine ganze Funktion der komplexen Variablen \(z\), reell für reelles \(z, f(0) = 1\), und es sei für jedes \(\varrho> 1\) bei \(z \to \infty\) \[ f(z) = O(e^{\varrho |z|}). \] Ist dann für irgendein natürliches \(n\) \[ \int\limits_{-\infty}^\infty f(x)|x|^{n-1}dx\leqq 2^{2n} \varGamma \biggl(\dfrac{n}{2}\biggr) \varGamma \biggl(\dfrac{n}{2}+1\biggr), \] so hat \(f(z)\) eine reelle Nullstelle; in dieser Aussage kann die rechte Seite durch keine größere Zahl ersetzt werden. (IV 4 F.)