Ein Verfahren zur Behandlung gewisser exponentialer Gleichungen und diophantischer Gleichungen. (Q2614491)

Verf. berichtet eingehend über seine in einer früheren Arbeit [Skrifter Oslo 1933, Nr. 6, 61 S. (1933; JFM 59.0935.04)] entwickelte Methode zur Lösung diophantischer Gleichungen. Die dort gewonnenen Resultate werden zum Teil auf neuem Wege bewiesen und durch einige neue Sätze ergänzt. So wird gezeigt: Für die ganzen rationalen Zahlen \(u_0\), \(u_1\),\dots gelte die rekurrente Gleichung mit ganzen rationalen Koeffizienten \[ \textstyle \sum\limits_{\nu =0}^{n} \displaystyle a_\nu u_{x+\nu }=0, \] aber keine kürzere. Die Wurzeln der zugehörigen Gleichung \(\textstyle \sum\limits_{\nu =0}^{n} \displaystyle a_\nu y^\nu =0\) seien \(\alpha _1\), \(\alpha _2\),\dots, \(\alpha _n\); es sei \(p\) eine ungerade Primzahl und \(e\) der kleinste positive Exponent derart, daß alle \(\alpha _\nu ^e\pmod{p}\) derselben rationalen Zahl kongruent werden; ferner sei \(\dfrac{\alpha _\mu }{\alpha _\nu }\) für \(\mu \not=\nu \) nie eine von 1 verschiedene \(e\)-te Einheitswurzel. Dann ist die Gleichung \[ \textstyle \sum\limits_{\mu =0}^{m} \displaystyle b_\mu u_{x+\mu }=0 \] mit ganzen rationalen \(b_\mu \) dann und nur dann für unendlich viele Werte von \(x\) erfüllt, wenn das Polynom \(\sum\limits_{\mu =0}^{m}b_\mu y^\mu \) durch das Polynom \(\sum\limits_{\nu =0}^{n}a_\nu y^\nu \) teilbar ist. (III 6.)