Quelques théorèmes de nature tauberienne relatifs aux intégrales et aux séries. (Q2614539)

Als umfassendstes Resultat der vorliegenden Arbeit wird der folgende Satz bewiesen, der eine Anzahl bekannter Umkehrsätze als Spezialfälle enthält: \(\alpha (x)\) sei eine für \(x\geqq 0\) nicht abnehmende, für \(x\to\infty \) unbegrenzt wachsende Funktion, \[ \alpha (x)=\alpha (x+0); \] \(X=X(x, \varepsilon)\) bedeute den kleinsten Wert, für den \[ \alpha (X)\geqq \alpha (x)+\varepsilon \] ist; \(\varPhi (x)\) und \(\varrho(x)\) seien positive Funktionen, \(\varrho (x)\) sei in bezug auf \(\alpha (x)\) integrierbar, und bei geeignet gewähltem \(0 < m < M\) gelte gleichmäßig für jedes \(x\leqq x'\leqq X\) \[ m\leqq \frac{\varPhi (x)}{\varPhi (x')}\leqq M\;\;\text{sowie}\;\;m\leqq \frac{\varrho (x)}{\varrho (x')}\leqq M; \] weiter sei \(f(x)\) eine in bezug auf \(\alpha (x)\) integrierbare Funktion. Aus \[ \textstyle \int\limits_{0}^{x} \displaystyle f(t)\,d\{\alpha (t)\}=o\{\varPhi (x)\}\;\;\text{für}\;\;x\to\infty \] folgt dann \[ f(x)=o\{\varPhi (x)\}\;\;\text{für}\;\;x\to\infty, \] wenn \(f(x)\) der Konvergenzbedingung \[ \liminf_{x\to\infty }\,\underset{x\leqq x'\leqq X}{\text{Min}}\frac{\varrho (x')\,f(x')-\varrho (x)\,f(x)}{\varrho \,(x)\,\varPhi \,(x)}>o(1)\;\;\text{für}\;\;\varepsilon 0 \] genügt. Durch Spezialisierung werden hieraus einige Umkehrsätze für Integrale und Reihen gewonnen.