Sur une propriété des ensembles dénombrables denses dans un intervalle. (Q2614552)

\(E\) und \(H\) seien zwei lineare Mengen; \(H\) heiße kleiner (\(N\)) als \(E\), wenn eine in \(E\) definierte, eineindetitig \(E\) in \(H\) abbildende Funktion \(f(x)\) existiert, welche für \(x\in E\), \(y\in E\), \(x\not=y\), die Bedingung \(|\,f(x)-f(y)\,|<|\,x-y\,|\) erfüllt. -- Bezeichnung: \(H\underset{f}{<}E\). -- Verf. beweist: (I) Wenn zwei lineare, abzählbare Mengen \(E\) und \(H\) in \((a, b)\) bzw. \((c, d)\) liegen, dort dicht sind und \(b - a > d - c > 0\) ist, dann ist \(H\) kleiner (\(N\)) als \(E\). (II) Unter denselben Voraussetzungen wie in (I) gibt es eine solche für \(a\leqq x\leqq b\) definierte Funktion \(f(x)\), daß \((c, d)\underset{f}{<}(a, b)\) und \(H\underset{f}{<}E\) ist. Es wird noch der Begriff ``\(H\) ist durch Zerlegung kleiner als \(E\)'' eingeführt und für diesen ein zu (I) analoger Satz (für beliebige Intervalle) bewiesen.