Sur la structure des fonctions univalentes. (Q2614558)

Es werden folgende Sätze bewiesen: I. Jede auf einer beliebigen Menge \(E\) definierte Funktion \(f\), welche auf dieser Menge lauter verschiedene Werte annimmt, bestimmt eine einzige Zerlegung der Menge \(E\) in elementenfremde Mengen (die auch leer sein können): \(E=E_0+E_1+E_2+\cdots\), wo \(f(E_0)=E_0\) und für \(n = 1\), 2, 3, \dots \(f(E_n)=E_{n-1}\) ist. -- Es wird nämlich gezeigt, daß die Mengen \(E_0=\prod\limits_{n=1}^\infty f^n(E)\), \(E_n=f^{n-1}(E)-f^n(E)\) (\(n=1\), 2, 3,\dots ) die geforderte Zerlegung bilden. \(\bigl(\)\(f^n(E)\) bezeichnet die \(n\)-te Iteration von \(f\), \(f^0(E)=E\).\(\bigr)\) II. Wenn \(f\) die Menge \(E\) ein-eindeutig auf sich selbst abbildet, dann ist \(E\) eine Summe (deren Summanden eindeutig durch \(E\) und \(f\) bestimmt sind) der höchstens abzählbaren, elementefremden Mengen \(H\), derart, daß für jedes Glied \(H\) der Summe die Gleichheit \(f(H)=H\) besteht. -- Für das Element \(p\in E\) besteht nämlich \(H(p)\) aus den Elementen: \dots \(f^{-2}(p)\), \(f^{-1}(p)\), \(p\), \(f^1(p)\), \(f^2(p)\), \dots.