Sur un espace des fonctions à variation bornée et la différentation d'une série terme à terme. (Q2614565)

In der Menge \(Y = \{y\}\) der im Intervall \((a, b)\) definierten Funktionen \(y(t)\) von beschränkter Schwankung wird folgendermaßen eine (teilweise) Ordnung eingeführt: Man setze \(y > 0\), wenn \(y(a)\geqq 0\), \(y(t_2)-y(t_1)\geqq 0\) für jedes \(t_2>t_1\) und wenn \(y(t)\) nicht identisch verschwindet. Ferner setze man \(y_2 > y_1\), wenn \(y_2 - y_1> 0\), und \(y_2<y_1\) wenn \(y_1>y_2\). -- In der üblichen Weise werden dann für eine Menge \(E\) von Elementen aus \(Y\) die Begriffe obere Schranke und obere Grenze (\(\sup\,E\)) eingeführt. Ferner wird definiert: \[ \limsup_{n\to\infty }\,y_n=\inf_{n}\,[\sup(y_n, y_{n+1},\dots )];\;\;\text{entsprechend}\;\;\liminf_{n\to\infty }\,y_n. \] Wenn \(\displaystyle\limsup_{n\to\infty }\,y_n=\liminf_{n\to\infty }\,y_n=y_0\) ist, so wird \(\displaystyle\lim_{n\to\infty }=y_0\) gesetzt. Verf. bezeichnet in diesem Fall die Funktionen \(y_n(t)\) als ``\(\alpha \)-\textit{konvergent}'' gegen \(y_0(t)\). Ferner nennt er eine Folge von summierbaren Funktionen \(f_n(t)\) ``\(\beta \)-\textit{konvergent}'' gegen eine Funktion \(f(t)\), wenn die \(f_n(t)\) fast überall gegen \(f(t)\) konvergieren und wenn eine summierbare Funktion \(F(t)\) existiert, so daß \(|\,f_n(t)\,|\leqq F(t)\), (\(n = 1\), 2,\dots ). Verf. stellt dann die beiden folgenden Sätze über gliedweise Differentiation auf: 1) \(\{y_n(t)\}\) sei eine Folge von totalstetigen Funktionen, für die \(y_n(a)=0\) ist. Damit die Folge \(\{y_n^\prime(t)\}\) \(\beta \)-konvergent ist gegen eine summierbare Funktion \(y_0^\prime(t)\), ist notwendig und hinreichend, daß die Folge \(\{y_n(t)\}\) \(\alpha \)-konvergent gegen \(y_0(t)\) ist. 2) \(\{y_n(t)\}\) sei eine Folge von Funktionen beschränkter Schwankung, die gegen \(y_0(t)\) \(\alpha \)-konvergent ist. Dann ist die Folge \(\{y_n^\prime(t)\}\) ß-konvergent gegen \(y_0^\prime(t)\). Es folgen noch zwei Sätze über additive Operationen in einem linearen Raum vom Typus (\(B\)). Der eine gibt eine Bedingung für die Stetigkeit einer solchen Operation, der andere eine Aussage über die Erweiterung einer Operation von einer linearen Teilmenge auf den Gesamtraum. Die Beweise sind nur knapp angedeutet. (IV 3 C, D.)