Sur quelques modes de convergence des suites de fonctions à une variable réelle sur \((-\infty, +\infty)\). (Q2614566)

Verf. stellt folgende Definitionen auf: (1) Eine Folge \(\{f_n(x)\}\) heißt \(S\)-konvergent im Maß (convergente \(S\) en mesure), wenn es zu jedem \(\varepsilon \) \((0 < \varepsilon < 1)\) und jedem \(l > 0\) eine Zahl \(N\) gibt, derart, daß \[ |\,f_{n+p}(x)-f_n(x)\,|<\varepsilon \] gilt für \(n > N\), für jedes \(p > 0\) und für alle Werte von \(x\) mit Ausnahme einer Menge, deren mittlere Dichte auf jedem Intervall der Länge \(l\) kleiner als \(\varepsilon \) ist. (2) Eine Funktion \(f(x)\) heißt \(S\)-fastperiodisch (presque-périodique \(S\)), wenn es zu jedem \(\varepsilon (0 < \varepsilon < 1)\) und jedem \(l > 0\) eine Zahl \(L\) gibt, so daß für jedes Intervall der Länge \(L\) eine Zahl \(\tau \) existiert, für welche \[ |\,f(x+\tau )-f(x)\,|<\varepsilon \] gilt für alle \(x\) des Intervalls mit Ausnahme einer Menge, deren mittlere Dichte in jedem Intervall der Länge \(l\) kleiner als \(\varepsilon \) ist. Verf. zeigt, daß eine im Maß \(S\)-konvergente Folge \(\{f_n(x)\}\) im Maß gegen eine Grenzfunktion \(f(x)\) \(S\)-konvergiert. Wenn die Funktionen \(f_n(x)\) \(S\)-fastperiodisch sind, gilt das gleiche von \(f(x)\). Schließlich werden noch folgende Definitionen eingeführt: (3) Eine Folge \(\{f_n(x)\}\) heißt im Mittel \(S_\omega \)-konvergent (convergente \(S_\omega \) en moyenne), wenn es zu jedem \(\varepsilon(0 <\varepsilon < 1)\) und jedem \(l > 0\) eine Zahl \(N\) gibt, so daß \[ \frac{1}{l}\int\limits_{a}^{a+l}|\,f_{n+p}(x)-f_n(x)\,|^\omega \,dx<\varepsilon \] gilt für alle Werte von \(a\), alle \(p > 0\) und \(n > N\). (4) Eine Funktion \(f(x)\) heißt \(S_\omega \)-fastperiodisch (presque-périodique \(S_\omega \)), wenn für jedes \(\varepsilon (0 <\varepsilon < 1)\) und jedes \(l > 0\) eine Zahl \(L\) existiert, so daß es für jedes Intervall der Länge \(L\) ein \(\tau \) gibt mit \[ \frac{1}{l}\int\limits_{a}^{a+l}|\,f(x+\tau )-f(x)\,|^\omega \,dx<\varepsilon \] für jedes \(a\). Es wird gezeigt, daß jede im Mittel \(S_\omega \)-konvergente Folge \(\{f_n(x)\}\) ebenso gegen eine Grenzfunktion \(f(x)\) konvergiert. \(f(x)\) ist \(S_\omega \)-fastperiodisch, wenn es alle \(f_n(x)\) sind. (IV 3 D, E.)