Une question concernant les fondements de la théorie des déformations continues. (Q2614599)

Es wird bewiesen: Es seien \(u_j(x_1, x_2, x_3)\), \(j=1\), 2, 3, im Würfel \(K\) des Raumes der \((x_1, x_2, x_3)\) stetig und mit endlichen, partiellen Ableitungen erster Ordnung \(\dfrac{\partial u_j}{\partial x_k}\), \(j\), \(k = 1\), 2, 3, versehen. Ferner gelte \(\dfrac{\partial u_j}{\partial x_k}+\dfrac{\partial u_k}{\partial x_j}=0\), \(j\), \(k = 1\), 2, 3, mit Ausnahme höchstens einer dreidimensionalen \textit{Lebesgue}schen Nullmenge. Dann gilt \(u_j=\alpha _j+\sum\limits_{k=1}^{\;3}A_{jk}x_k\), wo \(\alpha _j\), \(A_{jk}\) Konstante sind mit \(A_{jk}=-A_{kj}\). Der Beweis stützt sich auf den Satz von \textit{Montel-Looman-Menchow}, welcher aus der Gültigkeit \textit{Cauchy-Riemann}scher Differentialgleichungen fast überall zu schließen gestattet, daß die betreffenden Funktionen harmonisch sind in den in Frage kommenden Veränderlichen. (IV13.)