Quasi-analycité des séries de Fourier. (Q2614604)

Im Anschluß an \textit{de la Vallèe Poussin} (Bull. Soc. math. France 52 (1924), 175-203; F. d. M. 50, 641 (JFM 50.0641.*)) und \textit{S. Bernstein} (Leçons sur les propriétés extrémales et la meilleure approximation des fonctions analytiques d'une variable réelle; Paris, Gauthier-Villars, 1926; F. d. M. 52, 256 (JFM 52.0256.*)) zeigt Verf. folgenden Satz: Für \(t\geqq 0\) besitze \(p(t)\) eine Ableitung, und es sei \(tp'(t)\to\infty \) für \(t\to \infty \); ferner konvergiere \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(2)} \hfill \int\limits_{1}^{\infty } \frac{p(t)}{t^2}\,dt.\hfill} \] Man kann dann eine Funktion \(f(x)\) mit der Periode \(2\pi \) derart herstellen, daß die Bedingungen erfüllt sind: \[ \begin{aligned} &f^{(n)}(0)=0\qquad(n=1, 2, 3,\dots )\tag{"}\qquad\!(2)"\\ \text{und} &f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{1}^{\infty }(a_n\,\cos\,nx+ b_n\,\sin\,nx)\tag{"}\qquad\!(3)"\\ \text{mit} &|\,a_n\,|<e^{-p(n)},\;\;|\,b_n\,|<e^{-p(n)}.\end{aligned} \] Dabei ist \(f(x)\) nicht identisch Null. Ist umgekehrt das Integral (1) divergent, so ist jede Funktion \(f(x)\), die (2), (3) und (4) genügt, identisch Null. Der Beweis wird auf folgenden Satz aus der Theorie der quasianalytischen Funktionen zurückgeführt: Man kann eine nicht identisch verschwindende, beliebig oft differenzierbare Funktion herstellen, für welche gilt: \[ f(x)=f(2\pi -x);\;\,f^{(n)}(0)=f^{(n)}(2\pi )=0;\;\,f^{(n)}(x)\leqq m_n, \] wobei \(m_{n}\) mit der Funktion \(p(t)\) im Zusammenhang stehende Konstanten sind. Die Umkehrung folgt aus einem analogen Satz.