Sull'insieme dei punti di convergenza delle serie trigonometriche generali. (Q2614616)

Sind für eine trigonometrische Reihe \[ \sum_n (a_n\cos2\pi nx + b_n\sin 2\pi nx) \tag{1} \] die Bedingungen \[ \lim_{n\to\infty} a_n = 0, \qquad \lim_{n\to\infty} b_n = 0 \tag{2} \] nicht erfüllt, so hat die Menge \(A\) ihrer Konvergenzpunkte in \(0\leqq x\leqq 1\) das Maß Null (\textit{H. Lebesgue}, Leçons sur les séries trigonométriques (1906; F. d. M. 37, 281), p. 110). Verf. macht unter zusätzlichen Voraussetzungen über die Koeffizienten \(a_n\), \(b_n\) genauere Aussagen über A. Da (2) nicht erfüllt ist, so gibt es Indexfolgen \((n_r)\), für die bei einem \(\xi>0\) \[ \varrho_{n_r}=\sqrt{a_{n_r}^2+b_{n_r}^2} \geqq\xi>0 \] gilt. Verf. zeigt nun u. a: 1. Gibt es eine Folge \((n_r)\) der genannten Art, für die die Differenzenfolge \((n_{r+1}- n_r)\) beschränkt ist, so ist \(A\) endlich; ist wenigstens \(\dfrac{n_{r+1}}{n_r}\) beschränkt, so ist \(A\) höchstens abzählbar. 2. Dagegen ist für eine Lückenreihe \[ \sum\varrho_{n_r}\cos2\pi n_r(x-a_{n_r}), \] für die \(\sum\dfrac{n_r}{n_{r+1}}\) konvergiert und \((\varrho_{n_r})\) beschränkt ist, sogar die Menge \(C\) ihrer Punkte absoluter Konvergenz in \((0,1)\) eine Menge erster Kategorie, die überall dicht ist und in jedem Teilintervall die Mächtigkeit des Kontinuums hat.