A new type of expansion in radiation problems. (Q2614628)

\(r_1\) und \(r_2\) seien die Entfernungen der Punkte 1 und 2 vom Ursprung, \(r_{12}\) ihre Entfernung voneinander. Fette Buchstaben bedeuten Vektoren. Es sei \[ \xi_{l,m}=\left[\dfrac{(2l+1)(l-m)!}{8l(l+1)(l+m)!}\right]^{\frac12} (kr)^{-\frac12} J_{l+\frac12}(kr) P_l^m(\cos\theta)e^{im\varphi}. \] Dann sind \[ \boldsymbol A_{1lm}=\sqrt{l(l+1)}\nabla\xi_{lm},\qquad \boldsymbol A_{2lm}=k\nabla \times (\boldsymbol r\xi_{lm}),\qquad \boldsymbol A_{3lm}=-\dfrac{1}{k}\nabla\times\boldsymbol A_{2lm} \] Lösungen der Wellengleichung, ebenso wie die entsprechenden Vektoren \(\boldsymbol A_{jlm}'\), welche aus den \(\boldsymbol A_{jlm}\) durch Ersetzen der \textit{Bessel}schen Zylinderfunktion durch die \textit{Hankel}sche entstehen. \(\boldsymbol i(1)\) sei nun eine Funktion der Koordinaten des Punktes 1. Verf. weist folgende Entwicklung nach: \[ \boldsymbol i(1)\dfrac{c^{ikr_{12}}}{r_{12}}=\dfrac{4\pi i }{k} \sum_{(j,l,m)} \boldsymbol A_{jlm}'(2)\overline{\boldsymbol A}_{jlm}(1)\cdot \boldsymbol i(1)\qquad (r_2>r_1). \] Diese Entwicklung wird benützt, um die \textit{Maxwell}schen Gleichungen zu lösen. Es wird ein einfacher Ausdruck für die Energiestrahlung eines Systems von stromdurchflossenen Leitern angegeben. Der Grenzübergang \(k\to 0\) führt zu entsprechenden Formeln für das Vektorpotential einer stationären Strömung. Auch die Anwendung auf die \textit{Dirac}sche Theorie des Elektrons wird skizziert. (IV 14.)